Matematyka.pl

Czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ P}\) taki, że \(\displaystyle{ P(1+ \sqrt[3]{2} )= 1+ \sqrt[3]{2}}\) i \(\displaystyle{ P(1+ \sqrt{5} )=2+3 \sqrt{5} }\)

Bez zastrzeżeń o współczynnikach tego wielomianu?

JK

o współczynnikach całkowitych...

\(\displaystyle{ P(1+ \sqrt[3]{2} )=1+ \sqrt[3]{2} }\)

Co sugeruje nam, że:

\(\displaystyle{ a_{0}=0}\)

A więc:

\(\displaystyle{ P(x)=x \cdot w(x)}\)

A teraz:

\(\displaystyle{ P(1+ \sqrt{5)}=(1+ \sqrt{5})w(1+ \sqrt{5})=2+3 \sqrt{5} }\)

Z tego wyjdzie,że:

\(\displaystyle{ w(1+ \sqrt{5})=2+ \frac{1}{4} \left( 5- \sqrt{5} \right) }\)

Co nam nie da współczynników całkowitych a wiec sprzeczność...

Mam dużo prostszy, choć równie bełkotliwy argument:
\(\displaystyle{ P(1+ \sqrt[3]{2} )=1+ \sqrt[3]{2}}\)
co sugeruje, że `P(x)=x`, ale `P(1+\sqrt5)\ne 2+3\sqrt5`, więc takiego wielomianu nie ma

Twój argument nie jest bełkotliwy tylko nijaki...
Raczej trudno to nazwać bełkotem...
W moim rozumowaniu jest natomiast luka o której sobie zdaję sprawę...

Dokładnie tak samo jak twój..
Wielomianów, które spełniają pierwsze rrównanie jest pierdyliard i znakomita większość nie żeruje się w zerze

a4karo pisze: ↑8 wrz 2023, o 13:27i znakomita większość nie żeruje się w zerze

Żerowanie w zerze tylko dla wybranych...

JK

Zdecydowanie tak. Po pseudonaukowych postach arka1357 potrzebny jest jakiś element rozrywkowy.

Rozważmy wielomian
\(\displaystyle{ F(x)=P(x)-x}\)
Z warunków zadania wynika, że
\(\displaystyle{ F(1+ \sqrt[3]{2} )=0 }\)
\(\displaystyle{ F(1+\sqrt{5} ) = 1+2 \sqrt{5}}\) i też musi być o współczynnikach całkowitych jako różnica takowych
szukamy wielomianu, o współczynnikach całkowitych dzielących się przez \(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ x=1+ \sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ x-1 = \sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^3=2}\)
\(\displaystyle{ x^3-3x^2+3x-3=0}\)Oznacza to więc, że każdy wielomian spełniający warunki zadania musi dzielić się przez lewą stronę równania ( pewnie z jakiegoś twierdzenia o rozszerzeniach minimalnch ciała)
\(\displaystyle{ F(1+\sqrt{5} ) = ((1+\sqrt{5})^3-3(1+\sqrt{5})^2+3(1+\sqrt{5})-3)(w(1+\sqrt{5}))= 1+2 \sqrt{5}}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) o współczynnikach całkowitych Po standardowym wymnożeniu nawiasów przy użyciu wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy
\(\displaystyle{ 10+5 \sqrt{5} \cdot w(x) = 1+2\sqrt{5}}\) Jako, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z} [\sqrt{5}]}\) jest pierścieniem to otrzymujemy liczbę postaci
\(\displaystyle{ a+b \sqrt{5}}\). Oba współczynniki \(\displaystyle{ a,b}\) muszą być podzielne przez pięć, a tu, żaden z nich nie jest. Sprzeczność z założeniem o istnieniu wielomianu o współczynnikach całkowitych spełniającym powyższe warunki

Jakby a4karo nie był tak nadmuchany jak balonik to zauważyłby, że jego i mój dowód są poprawne ale jedynie dla szczególnych przypadków, co oczywiście nie jest jak najbardziej rozwiązaniem zadania ale akurat twoje występy są niezbyt trafione choć trochę tak nawet powiem ciut ciut jest ok...
Oscylujesz tak między Strasburgerem a Ibiszem... Proszę cię tylko ponieważ Cię podziwiam i jesteś dla mnie tu autorytetem autorytatywnym nie schodź na poziom Pana Japy...

To jest oczywista offtopic, ale gdybyś potrafił krytycznie popatrzeć na to co piszesz, to byś zrozumiał, że mój dowód to żaden dowód, tylko kpina z twojego pseudomatematycznago rozumowania.

Z tego wyjdzie,że:

\(\displaystyle{ w(1+ \sqrt{5})=2+ \frac{1}{4} \left( 5- \sqrt{5} \right) }\)

Co nam nie da współczynników całkowitych a wiec sprzeczność...

A czemu ?

Bo skoro wielomian nie ma współczynników całkowitych to jest to sprzeczność z warunkami zadania, a teraz niech se a4karo pokpi bo mu już tyle zostało czyli niewiele...ja kpiny odpuszczam...

No sobie pokpię, bo zakładasz rzeczy, które nie są prawdziwe i stąd wnioskujesz tezę. Jeżeli nie rozumiesz, że tak się nie robi, to może wróć na studia (choćby zaoczne)