Przesunięcie

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11768
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3196 razy
Pomógł: 759 razy

Przesunięcie

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że jesli \(\displaystyle{ W}\) jest wielomianem jednej zmiennej o wymiernych współczynnikach, to istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ n>0}\) taka, że wielomian \(\displaystyle{ W(x+n) - W(x) }\) ma wszystkie współczynniki całkowite.
Ostatnio zmieniony 6 lip 2024, o 13:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8604
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 308 razy
Pomógł: 3361 razy

Re: Przesunięcie

Post autor: kerajs »

Wszystkie współczynniki wielomianu stopnia \(\displaystyle{ m}\) przedstawiam jako nieskracalne ułamki zwykłe o dodatnich mianownikach.
\(\displaystyle{ \frac{a_k}{b_k}(x+n)^k= \frac{a_k}{b_k} \sum_{j=0}^{k} {k \choose j}x^{k-j}n^j=
\frac{a_k}{b_k}x^k+ \frac{a_k}{b_k} \sum_{j=1}^{k} {k \choose j}x^{k-j}n^j= \\=
\frac{a_k}{b_k}x^k+n \cdot \frac{a_k}{b_k} \sum_{j=1}^{k} {k \choose j}x^{k-j}n^{j-1}
}\)


\(\displaystyle{ W(x+n)-W(x)= \sum_{i=m}^{0} \frac{a_i}{b_i}(x+n)^i - \sum_{i=m}^{0} \frac{a_i}{b_i}x^i = }\)
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=m}^{0} \frac{a_i}{b_i}x^i +n \sum_{i=m}^{0} \frac{a_i}{b_i}\left( \sum_{j=1}^{i} {i \choose j}x^{i-j}n^{j-1} \right) \right) - \sum_{i=m}^{0} \frac{a_i}{b_i}x^i = }\)
\(\displaystyle{ n \sum_{i=m}^{0} \frac{a_i}{b_i}\left( \sum_{j=1}^{i} {i \choose j}x^{i-j}n^{j-1} \right)
}\)

Aby współczynniki uzyskanego wielomianu były całkowite to liczba \(\displaystyle{ n}\) powinna być najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników wszystkich współczynników, lub wielokrotnością tego NWW.
ODPOWIEDZ