Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ b^6+2 \geq b+b^2+b^3 }\) dla \(\displaystyle{ b>0}\)

Standardowy rozkład na czynniki - jedynka jest podwójnym pierwiastkiem. Pozostaje wielomian czwartego stopnia o współczynnikach dodatnich.

jaśniej proszę...

Horner dwa razy i mamy \(\displaystyle{ (b-1)^2(b^4+2b^3+3b^2+3b+2) \ge 0}\) (a przecież \(\displaystyle{ b>0}\)).

Mamy \(b^4+2b^3+3b^2+3b+2=b^2(b+1)^2+2\left(b+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\), więc nierówność jest prawdziwa dla rzeczywistych \(b\).

Msz tzw. oczekiwane rozwiązanie dla \(b>0\) to będzie coś takiego: \[2\left(b^6+1\right)+2\ge 2b^3+\left(2b^3+1\right)+1\ge 2b^3+2b^2+\left(b^2+1\right)\ge 2b^3+2b^2+2b.\]