Przesunięcie o 2
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11486
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3159 razy
- Pomógł: 749 razy
Przesunięcie o 2
Udowodnić, że \(\displaystyle{ b^6+2 \geq b+b^2+b^3 }\) dla \(\displaystyle{ b>0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Przesunięcie o 2
Standardowy rozkład na czynniki - jedynka jest podwójnym pierwiastkiem. Pozostaje wielomian czwartego stopnia o współczynnikach dodatnich.
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: Przesunięcie o 2
Mamy \(b^4+2b^3+3b^2+3b+2=b^2(b+1)^2+2\left(b+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\), więc nierówność jest prawdziwa dla rzeczywistych \(b\).
Msz tzw. oczekiwane rozwiązanie dla \(b>0\) to będzie coś takiego: \[2\left(b^6+1\right)+2\ge 2b^3+\left(2b^3+1\right)+1\ge 2b^3+2b^2+\left(b^2+1\right)\ge 2b^3+2b^2+2b.\]
Msz tzw. oczekiwane rozwiązanie dla \(b>0\) to będzie coś takiego: \[2\left(b^6+1\right)+2\ge 2b^3+\left(2b^3+1\right)+1\ge 2b^3+2b^2+\left(b^2+1\right)\ge 2b^3+2b^2+2b.\]