\(\displaystyle{
\Large
{
T_{n}\left( \cos{\left( \theta\right) }\right) = \cos{\left( n\theta\right) }\\
x = \cos{\left( \theta\right)}\\
\cos{\left( n\theta\right) } = 0\\
n\theta = \frac{\pi}{2}+k\pi \qquad k\in\mathbb{Z}\\
n\theta = \frac{\pi}{2}+\left( k-1\right) \pi \qquad k\in\mathbb{Z}\\
n\theta = \frac{\left(2k-1\right)}{2}\pi \qquad k\in\mathbb{Z}\\
\theta = \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\qquad k\in\mathbb{Z}\\
\cos{\left( \theta\right)} = \cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\qquad k\in\mathbb{Z}\\
x_{k} = \cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) } \qquad k=1,2,\ldots, n\\
T_{n}\left( x\right) = a \prod\limits_{k=1}^{n}{\left( x-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\right) } \\
T_{n}\left( 1\right) = 1\\
a \prod\limits_{k=1}^{n}{\left( 1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\right) } = 1\\
a = \frac{1}{\prod\limits_{k=1}^{n}{\left( 1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\right) }}\\
a = \prod\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }}}\\
T_{n}\left( x\right) =\prod\limits_{k=1}^{n}{\frac{ x-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }}{ 1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }}}
}
}\)
Teraz zadanie jest takie spróbujmy mając do dyspozycji postać iloczynową
obliczyć współczynnik wiodący wielomianów Czebyszowa dla \(\displaystyle{ n > 0}\)
(Dla biznesmenów Traczów - tak wiem że to będzie \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\)
tylko jak ten wynik otrzymać mając do dyspozycji jedynie postać iloczynową)
Oto do czego doszedłem
\(\displaystyle{
\Large
{
\prod\limits_{k=1}^{n}{\left(1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\right)}\\
1 = \cos^2{\left( \theta\right) }+\sin^{2}{\left( \theta\right) }\\
\cos{\left( 2\theta\right) } = \cos^2{\left( \theta\right) }-\sin^{2}{\left( \theta\right) }\\
\prod\limits_{k=1}^{n}{\left( \left(\cos^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) } + \sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }\right) -\left(\cos^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) } -\sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }\right) \right) }\\
\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\prod\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}\cdot 4\sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{4\sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2\left(n-k+1\right)-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }\cdot 2\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\cdot 2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }}\\
}
}\)
Jak teraz pokazać że dla \(\displaystyle{ n>0}\)
\(\displaystyle{
\Large
{
\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }} = 2
}
}\)
Postać iloczynowa wielomianów Czebyszowa
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5446
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 141 razy
- Pomógł: 553 razy
Re: Postać iloczynowa wielomianów Czebyszowa
lub , że:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} = \frac{2}{2^n} }\)
weźmy:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{2n-1} \sin \frac{k\pi}{2n} = \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{2k\pi}{2n} = \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}}\)
ale jest taki wzór, który nietrudno udowodnić choćby z Eulera, że:
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} }\)
reasumując to otrzymamy:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{2n-1} \sin \frac{k\pi}{2n}= \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}= \frac{2n}{2^{2n-1}} }\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2^{n-1}} \cdot \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} =\frac{2n}{2^{2n-1}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n}= \frac{2}{2^n} }\)
cnd...
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} = \frac{2}{2^n} }\)
weźmy:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{2n-1} \sin \frac{k\pi}{2n} = \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{2k\pi}{2n} = \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}}\)
ale jest taki wzór, który nietrudno udowodnić choćby z Eulera, że:
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} }\)
reasumując to otrzymamy:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{2n-1} \sin \frac{k\pi}{2n}= \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}= \frac{2n}{2^{2n-1}} }\)
lub:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2^{n-1}} \cdot \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} =\frac{2n}{2^{2n-1}}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n}= \frac{2}{2^n} }\)
cnd...
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6932
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1250 razy
Re: Postać iloczynowa wielomianów Czebyszowa
Ja próbowałem to pokazać korzystając tylko z liczb rzeczywistych
Tę dwójkę zostawiłem bo mogła się przydać do wzoru na sinus podwojonego kąta
Myślałem nad tym aby rozbić na dwa przypadki - dla n parzystych i dla n nieparzystych
\(\displaystyle{
\Large
{
\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left( 2k-1\right)\pi }{2n}\right)}}\\
n=2m+1\\
\prod\limits_{k=1}^{2m+1}{2\sin{\left(\frac{\left( 2k-1\right)\pi }{4m+2}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2m+1}\right)}\cdot2\sin{\left(\frac{\pi}{2}+\frac{k\pi}{2m+1}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{2\cos{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right)}\cdot 2\cos{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{\frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}\cdot \frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{\frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}\cdot \frac{\sin{\left(\frac{\left(2m+1-2k\right)\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{\left(2m+1-k\right)\pi}{2m+1}\right) }}}\\
}
}\)
Gdybyśmy rozpisali ten iloczyn na czynniki to by
się one poskracały i dały jedynkę
Jednak na to jak pokazać tę równość dla parzystych n nie mam pomysłu
(przy założeniu że korzystamy tylko z liczb rzeczywistych)
A czy dałoby się jakoś udowodnić wzorek z którego skorzystałeś
używając tylko liczb rzeczywistych ?
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} }\)
Gdyby pokazać tę równość korzystając tylko z liczb rzeczywistych to twój sposób
byłby nawet lepszy od mojego pomysłu
Tę dwójkę zostawiłem bo mogła się przydać do wzoru na sinus podwojonego kąta
Myślałem nad tym aby rozbić na dwa przypadki - dla n parzystych i dla n nieparzystych
\(\displaystyle{
\Large
{
\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left( 2k-1\right)\pi }{2n}\right)}}\\
n=2m+1\\
\prod\limits_{k=1}^{2m+1}{2\sin{\left(\frac{\left( 2k-1\right)\pi }{4m+2}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2m+1}\right)}\cdot2\sin{\left(\frac{\pi}{2}+\frac{k\pi}{2m+1}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{2\cos{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right)}\cdot 2\cos{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{\frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}\cdot \frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{\frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}\cdot \frac{\sin{\left(\frac{\left(2m+1-2k\right)\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{\left(2m+1-k\right)\pi}{2m+1}\right) }}}\\
}
}\)
Gdybyśmy rozpisali ten iloczyn na czynniki to by
się one poskracały i dały jedynkę
Jednak na to jak pokazać tę równość dla parzystych n nie mam pomysłu
(przy założeniu że korzystamy tylko z liczb rzeczywistych)
A czy dałoby się jakoś udowodnić wzorek z którego skorzystałeś
używając tylko liczb rzeczywistych ?
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} }\)
Gdyby pokazać tę równość korzystając tylko z liczb rzeczywistych to twój sposób
byłby nawet lepszy od mojego pomysłu
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5446
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 141 razy
- Pomógł: 553 razy
Re: Postać iloczynowa wielomianów Czebyszowa
Jedyne co znam oprócz oczywiście używania liczb zespolonych co jest dość oczywiste jest ciekawy dowód:
tzn korzystasz z Tw. Kirchoffa o ilości drzew rozpinających w grafie.
Najpierw tworzysz macierz grafu, a dla Twego dowodu graf ten jest wielokątem o n wierzchołkach położonym na okręgu,
i dla tego grafu tworzysz macierz, która będzie miała ładny wygląd bo wierzchołki będą stopnia \(\displaystyle{ 2}\)
i korzystasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ t(G)= \frac{\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot ... \cdot \lambda_{n-1}}{n} }\)
wzór na liczbę drzew rozpinających lambdy to wartości własne tej macierzy...:
one będą tymi wartościami te sinusy..., a bez macierzy oczywiście tych drzew rozpinających będzie \(\displaystyle{ n}\) i masz zadanie..
Tylko nie rozumiem czemu ci szkodzą zespolone??
tzn korzystasz z Tw. Kirchoffa o ilości drzew rozpinających w grafie.
Najpierw tworzysz macierz grafu, a dla Twego dowodu graf ten jest wielokątem o n wierzchołkach położonym na okręgu,
i dla tego grafu tworzysz macierz, która będzie miała ładny wygląd bo wierzchołki będą stopnia \(\displaystyle{ 2}\)
i korzystasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ t(G)= \frac{\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot ... \cdot \lambda_{n-1}}{n} }\)
wzór na liczbę drzew rozpinających lambdy to wartości własne tej macierzy...:
https://en.wikipedia.org/wiki/Kirchhoff%27s_theorem
one będą tymi wartościami te sinusy..., a bez macierzy oczywiście tych drzew rozpinających będzie \(\displaystyle{ n}\) i masz zadanie..
Tylko nie rozumiem czemu ci szkodzą zespolone??
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6932
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1250 razy
Re: Postać iloczynowa wielomianów Czebyszowa
To jak by wyglądałby dowód tej równości z użyciem zespolonych ?
Co z moim pomysłem rozbicia n na parzyste i nieparzyste ?
Dla nieparzystych trzeba by jeszcze poukładać czynniki aby było widać że się skracają
Czy dla n parzystych nie da się tego iloczynu jakoś zwinąć do \(\displaystyle{ 2\sin{\left( \frac{\pi}{4} \right) } \cdot 2\sin{\left( \frac{\pi}{4} \right) }}\)
Kirchhoff kojarzył mi się z tymi prawami dotyczącymi prądów
Co z moim pomysłem rozbicia n na parzyste i nieparzyste ?
Dla nieparzystych trzeba by jeszcze poukładać czynniki aby było widać że się skracają
Czy dla n parzystych nie da się tego iloczynu jakoś zwinąć do \(\displaystyle{ 2\sin{\left( \frac{\pi}{4} \right) } \cdot 2\sin{\left( \frac{\pi}{4} \right) }}\)
Kirchhoff kojarzył mi się z tymi prawami dotyczącymi prądów
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5446
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 141 razy
- Pomógł: 553 razy
Re: Postać iloczynowa wielomianów Czebyszowa
Tak w skrócie:
ze wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} }\)
jak podstawisz do tego sinusa po skróceniu otrzymasz:
\(\displaystyle{ 2^{1-n} \prod_{k=1}^{n-1}\left( 1-\xi^k\right) }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \xi=e^{ \frac{2\pi i}{n} }}\)
są to pierwiastki z jedynki jak widać na załączonym obrazku...
\(\displaystyle{ x^n-1=(x-1) \sum_{k=0}^{n-1} x^k=(x-1) \prod_{k=1}^{n-1} \left( x-\xi^k\right) /:(x-1) }\)
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1} \left( x-\xi^k\right) = \sum_{k=0}^{n-1} x^k}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1} \left( 1-\xi^k\right) =n}\)
ze wzoru Eulera:
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} }\)
jak podstawisz do tego sinusa po skróceniu otrzymasz:
\(\displaystyle{ 2^{1-n} \prod_{k=1}^{n-1}\left( 1-\xi^k\right) }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \xi=e^{ \frac{2\pi i}{n} }}\)
są to pierwiastki z jedynki jak widać na załączonym obrazku...
\(\displaystyle{ x^n-1=(x-1) \sum_{k=0}^{n-1} x^k=(x-1) \prod_{k=1}^{n-1} \left( x-\xi^k\right) /:(x-1) }\)
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1} \left( x-\xi^k\right) = \sum_{k=0}^{n-1} x^k}\)
\(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1} \left( 1-\xi^k\right) =n}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6932
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1250 razy
Re: Postać iloczynowa wielomianów Czebyszowa
Wielomiany masz w szkole średniejTylko nie rozumiem czemu ci szkodzą zespolone??
Trygonometrię masz w szkole średniej
ale zespolonych już nie masz
Oczywiście nawet w podstawówkach znajdują się takie okazy jak Vax
ale jest ich niewiele tak samo jak i niewiele jest takich którym można by
zasłużenie postawić niedostateczną
Wobec powyższego chciałem wyprowadzić ten wzór w sposób zrozumiały
nawet dla licealisty
Licealiście trzeba by co najmniej semestr poświęcić aby wytłumaczyć zespolone
Dla nieparzystych n coś tam uzyskałem bawiąc się wzorami redukcyjnymi
i przekształcając wzór na sinus podwojonego kąta
Pozostaje przypadek dla parzystych n
Dla nieparzystych n zauważyłem że jeden czynnik to \(\displaystyle{ 2\sin{\left( \frac{\pi}{2} \right) }}\)
pozostałe zaś da się połączyć w pary a następnie korzystając ze wzorów redukcyjnych zamienić na cosinusy
Przekształcając wzór na sinus podwojonego kąta można zamienić cosinusy na sinusy a następnie
korzystając ze wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ \sin{\left(x\right)}=\sin{\left( \pi-x\right) }}\)
można pokazać że po rozwinięciu iloczynu w liczniku będą te same czynniki co w mianowniku
z dokładnością do kolejności czynników (a jak wiemy dla liczb rzeczywistych mnożenie jest przemienne)
Jednak na to jak policzyć ten iloczyn dla parzystych n
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5446
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 141 razy
- Pomógł: 553 razy
Re: Postać iloczynowa wielomianów Czebyszowa
ciekawe masz sentymenty dla liceum , jednak z moich spostrzeżeń niektórzy licealiści mają problem z ułamkamiWobec powyższego chciałem wyprowadzić ten wzór w sposób zrozumiały
nawet dla licealisty
Licealiście trzeba by co najmniej semestr poświęcić aby wytłumaczyć zespolone
więc mam obawy, że Twój wysiłek idzie na marne...