Matematyka.pl

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) o stopniu \(\displaystyle{ n}\), który dla \(\displaystyle{ x>0}\) przyjmuje wartości nieujemne. Wykazać, że \(\displaystyle{ n \le 1}\), jeżeli \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podaddytywny.

\(\displaystyle{ n \geq 1}\) czy \(\displaystyle{ n \leq 1 }\)

W zadaniu mam \(\displaystyle{ n \le 1}\), ale to stara książka, więc może być jakiś błąd w druku.

Fajne zadanko. Wykorzystajmy taką własność funkcji wypukłej: jeżeli `f` jest funkcją wypukła, to dla `h>0` funkcja `g(x)=f(x+h)-f(x)` jest rosnąca.
Przypuśćmy, że `n>1`. Ponieważ wielomian `W` jest nieujemny dla dużych `x`, więc
a) współczynnik przy najwyższej potędze `w_n` jest dodatni
b) jest wypukły na pewnej półprostej `(b,\infty)`, bo najwyższy współczynnik \(\displaystyle{ W''}\) jest równy `n(n-1)w_n>0`
c) na pewnej półprostej `(c,\infty)` zachodzi \(\displaystyle{ W(y)<W'(y)y}\), bo najstarszy współczynnik prawej strony `nw_n` jest większy niż najstarszy współczynnik lewej strony.

Weźmy `A>\max(b,c)` i rozpatrzmy funkcję `f:[0,\infty)\to\RR` daną wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{W(A)}{A}x&\text{ dla } x\le A\\ W(x)&\text{ dla } x>A\end{cases}.}\)

Funkcja `f` jest ciągła, wypukłą na obu kawałkach z osobna, a na mocy punktu c) jej pochodna lewostronna w punkcie sklejenia jest mniejsza niż pochodna prawostronna. To oznacza, że `f` jest wypukła.

Weźmy teraz `x>y>A`. Na mocy przytoczonej własności funkcji wypukłej (kładąc `h=y`) mamy `f(x+y)-f(x)>f(y)-f(0)`, co na mocy definicji `f` daje `W(x+y)>W(x)+W(y)` - sprzeczność z założeniem podaddytywności `W`.
Założenie `n>1` doprowadziło nas do sprzeczności, zatem `n\le 1 `.


Pewnie da się to zrobić prościej.
Na przykłąd tak:
d) pochodna \(\displaystyle{ W'}\) jest dodatnia i rosnąca na pewnej półprostej `(d,\infty)`
Biorąc `x>y>\max(c,d)` dostajemy korzystając z c) i d)
\(\displaystyle{ W(x+y)-W(y)=\int_0^x W'(y+t)dt>xW'(y)>yW'(y)>W(y)}\),
a więc tę samą sprzeczność.

Łatwo sprawdzić, że wielomiany stopnia \(\displaystyle{ n \ge 0}\) spełniają

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{W(2x)}{W(x)} = 2^n}\).

Jeśli wielomian jest podaddytywny, to \(\displaystyle{ W(2x) = W(x+x) \le W(x) + W(x) = 2W(x)}\), a stąd \(\displaystyle{ 2^n \le 2}\) czyli \(\displaystyle{ n \le 1}\).