Podaddytywność wielomianu
Podaddytywność wielomianu
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) o stopniu \(\displaystyle{ n}\), który dla \(\displaystyle{ x>0}\) przyjmuje wartości nieujemne. Wykazać, że \(\displaystyle{ n \le 1}\), jeżeli \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podaddytywny.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11464
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Podaddytywność wielomianu
W zadaniu mam \(\displaystyle{ n \le 1}\), ale to stara książka, więc może być jakiś błąd w druku.
-
- Użytkownik
- Posty: 22233
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Podaddytywność wielomianu
Fajne zadanko. Wykorzystajmy taką własność funkcji wypukłej: jeżeli `f` jest funkcją wypukła, to dla `h>0` funkcja `g(x)=f(x+h)-f(x)` jest rosnąca.
Przypuśćmy, że `n>1`. Ponieważ wielomian `W` jest nieujemny dla dużych `x`, więc
a) współczynnik przy najwyższej potędze `w_n` jest dodatni
b) jest wypukły na pewnej półprostej `(b,\infty)`, bo najwyższy współczynnik \(\displaystyle{ W''}\) jest równy `n(n-1)w_n>0`
c) na pewnej półprostej `(c,\infty)` zachodzi \(\displaystyle{ W(y)<W'(y)y}\), bo najstarszy współczynnik prawej strony `nw_n` jest większy niż najstarszy współczynnik lewej strony.
Weźmy `A>\max(b,c)` i rozpatrzmy funkcję `f:[0,\infty)\to\RR` daną wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{W(A)}{A}x&\text{ dla } x\le A\\ W(x)&\text{ dla } x>A\end{cases}.}\)
Funkcja `f` jest ciągła, wypukłą na obu kawałkach z osobna, a na mocy punktu c) jej pochodna lewostronna w punkcie sklejenia jest mniejsza niż pochodna prawostronna. To oznacza, że `f` jest wypukła.
Weźmy teraz `x>y>A`. Na mocy przytoczonej własności funkcji wypukłej (kładąc `h=y`) mamy `f(x+y)-f(x)>f(y)-f(0)`, co na mocy definicji `f` daje `W(x+y)>W(x)+W(y)` - sprzeczność z założeniem podaddytywności `W`.
Założenie `n>1` doprowadziło nas do sprzeczności, zatem `n\le 1 `.
Pewnie da się to zrobić prościej.
Na przykłąd tak:
d) pochodna \(\displaystyle{ W'}\) jest dodatnia i rosnąca na pewnej półprostej `(d,\infty)`
Biorąc `x>y>\max(c,d)` dostajemy korzystając z c) i d)
\(\displaystyle{ W(x+y)-W(y)=\int_0^x W'(y+t)dt>xW'(y)>yW'(y)>W(y)}\),
a więc tę samą sprzeczność.
Przypuśćmy, że `n>1`. Ponieważ wielomian `W` jest nieujemny dla dużych `x`, więc
a) współczynnik przy najwyższej potędze `w_n` jest dodatni
b) jest wypukły na pewnej półprostej `(b,\infty)`, bo najwyższy współczynnik \(\displaystyle{ W''}\) jest równy `n(n-1)w_n>0`
c) na pewnej półprostej `(c,\infty)` zachodzi \(\displaystyle{ W(y)<W'(y)y}\), bo najstarszy współczynnik prawej strony `nw_n` jest większy niż najstarszy współczynnik lewej strony.
Weźmy `A>\max(b,c)` i rozpatrzmy funkcję `f:[0,\infty)\to\RR` daną wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{W(A)}{A}x&\text{ dla } x\le A\\ W(x)&\text{ dla } x>A\end{cases}.}\)
Funkcja `f` jest ciągła, wypukłą na obu kawałkach z osobna, a na mocy punktu c) jej pochodna lewostronna w punkcie sklejenia jest mniejsza niż pochodna prawostronna. To oznacza, że `f` jest wypukła.
Weźmy teraz `x>y>A`. Na mocy przytoczonej własności funkcji wypukłej (kładąc `h=y`) mamy `f(x+y)-f(x)>f(y)-f(0)`, co na mocy definicji `f` daje `W(x+y)>W(x)+W(y)` - sprzeczność z założeniem podaddytywności `W`.
Założenie `n>1` doprowadziło nas do sprzeczności, zatem `n\le 1 `.
Pewnie da się to zrobić prościej.
Na przykłąd tak:
d) pochodna \(\displaystyle{ W'}\) jest dodatnia i rosnąca na pewnej półprostej `(d,\infty)`
Biorąc `x>y>\max(c,d)` dostajemy korzystając z c) i d)
\(\displaystyle{ W(x+y)-W(y)=\int_0^x W'(y+t)dt>xW'(y)>yW'(y)>W(y)}\),
a więc tę samą sprzeczność.
Ostatnio zmieniony 18 paź 2023, o 22:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Podaddytywność wielomianu
Łatwo sprawdzić, że wielomiany stopnia \(\displaystyle{ n \ge 0}\) spełniają
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{W(2x)}{W(x)} = 2^n}\).
Jeśli wielomian jest podaddytywny, to \(\displaystyle{ W(2x) = W(x+x) \le W(x) + W(x) = 2W(x)}\), a stąd \(\displaystyle{ 2^n \le 2}\) czyli \(\displaystyle{ n \le 1}\).
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{W(2x)}{W(x)} = 2^n}\).
Jeśli wielomian jest podaddytywny, to \(\displaystyle{ W(2x) = W(x+x) \le W(x) + W(x) = 2W(x)}\), a stąd \(\displaystyle{ 2^n \le 2}\) czyli \(\displaystyle{ n \le 1}\).