Matematyka.pl

Jak sprawdzić czy wielomian ma pierwiastki rzeczywiste?
na przykład \(\displaystyle{ p(x)\cdot p(x-3)=p(x ^{2}+3)}\)

Ale jaka jest treść zadania? Bo to, co napisałeś, wygląda niekompletnie.

JK

Po prostu, czy podany wielomian ma pierwiastki rzeczywiste.

Ale tu nie ma "podanego wielomianu"...

Być może chodzi Ci o zadanie typu: czy jeśli wielomian \(\displaystyle{ p(x)\in\RR[x]}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ p(x)\cdot p(x-3)=p(x ^{2}+3)}\), to ma pierwiastki rzeczywiste.

JK

Dokładnie o to mi chodziło, przepraszam za brak dokładności.

Jan Kraszewski pisze: ↑15 kwie 2022, o 15:59 Być może chodzi Ci o zadanie typu: czy jeśli wielomian \(\displaystyle{ p(x)\in\RR[x]}\) ...

Dlaczego \(\displaystyle{ p(x)}\) tu może być rozumiane jako wielomian, a tu \(\displaystyle{ a_n}\) nie mogło być rozumiane jako ciąg?

Janusz Tracz pisze: ↑15 kwie 2022, o 17:17Dlaczego \(\displaystyle{ p(x)}\) tu może być rozumiane jako wielomian, a tu \(\displaystyle{ a_n}\) nie mogło być rozumiane jako ciąg?

Bo to wielomian, a nie funkcja wielomianowa? Gdyby to była funkcja wielomianowa, to istotnie powinienem nazwać ją \(\displaystyle{ p}\) (bo \(\displaystyle{ p(x)}\) oznacza wartość tej funkcji w \(\displaystyle{ x\in \RR}\)), ale dla wielomianu symbol \(\displaystyle{ p(x)}\) oznacza, że jest to wielomian zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

JK

PS Choć tu istotnie mamy raczej funkcję wielomianową...

Czy moje rozumowanie jest poprawne?
Jeżeli istnieje takie \(\displaystyle{ x_{0}}\), że \(\displaystyle{ p(x _{0}) = 0}\), to musi istnieć takie \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ p(a ^{2} +3)=0}\), jeżeli wstawię \(\displaystyle{ a ^{2} +3}\) do początkowej postaci, to mam \(\displaystyle{ p(a ^{2} +3) \cdot p(a ^{2})=p((a ^{2}+3) ^{2} +3)}\), więc \(\displaystyle{ p((a ^{2}+3) ^{2} +3) = 0}\), postępując analogicznie dochodzę do wniosku, że musiałoby istnieć nieskończenie wiele pierwiastków, co jest niemożliwe. Oczywiście istnienie tylko jednego pierwiastka jest niemożliwe, ponieważ żadna liczba nie spełnia \(\displaystyle{ x=x ^{2}+3 }\), ani \(\displaystyle{ x-1=x ^{2}+3}\).

wojciechfil20 pisze: ↑15 kwie 2022, o 18:14Jeżeli istnieje takie \(\displaystyle{ x_{0}}\), że \(\displaystyle{ p(x _{0}) = 0}\), to musi istnieć takie \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ p(a ^{2} +a+1)=0}\),

A mógłbyś wytłumaczyć, skąd ten wniosek?

Poza tym później Twoje podstawienia nie mają nic wspólnego z warunkiem z zadania.

JK

Skoro \(\displaystyle{ p(x _{0})=0}\), to wstawiając do początkowej postaci mam \(\displaystyle{ p(x _{0}) \cdot p(x _{0}-3)=p( x_{0} ^{2}+3)}\), więc \(\displaystyle{ p( x_{0} ^{2}+3) = 0}\). Tutaj powinienem napisać, że istanieje takie \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ a=x_{0} ^{2}+3}\), \(\displaystyle{ a \neq x_{0}}\) i \(\displaystyle{ p(a) = 0}\). Wracając do tego co napisałem wyżej \(\displaystyle{ p(a) \cdot p(a-3)=p(a ^{2}+3)}\), więc \(\displaystyle{ p(a ^{2}+3) = 0}\), czyli istnieje kolejne miejsce zerowe \(\displaystyle{ a ^{2}+3}\).

wojciechfil20 pisze: ↑15 kwie 2022, o 18:25 Skoro \(\displaystyle{ p(x _{0})=0}\), to wstawiając do początkowej postaci mam \(\displaystyle{ \red{p(x _{0}) \cdot p(x _{0}-1)=p( x_{0} ^{2}+x _{0}+1)}}\),

Jan Kraszewski pisze: ↑15 kwie 2022, o 15:59 czy jeśli wielomian \(\displaystyle{ p(x)\in\RR[x]}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ \red{p(x)\cdot p(x-3)=p(x ^{2}+3)}}\), to ma pierwiastki rzeczywiste.

Czy na pewno mówimy o tym samym zadaniu?

JK

Poprawiłem post.

Dodano po 7 minutach 31 sekundach:

wojciechfil20 pisze: ↑15 kwie 2022, o 18:25 Skoro \(\displaystyle{ p(x _{0})=0}\), to wstawiając do początkowej postaci mam \(\displaystyle{ p(x _{0}) \cdot p(x _{0}-3)=p( x_{0} ^{2}+3)}\), więc \(\displaystyle{ p( x_{0} ^{2}+3) = 0}\). Tutaj powinienem napisać, że istanieje takie \(\displaystyle{ a}\), że \(\displaystyle{ a=x_{0} ^{2}+3}\), \(\displaystyle{ a \neq x_{0}}\) i \(\displaystyle{ p(a) = 0}\). Wracając do tego co napisałem wyżej \(\displaystyle{ p(a) \cdot p(a-3)=p(a ^{2}+3)}\), więc \(\displaystyle{ p(a ^{2}+3) = 0}\), czyli istnieje kolejne miejsce zerowe \(\displaystyle{ a ^{2}+3}\).

Czy to rozumowanie jest prawidłowe?

Tak, choć oczywiście to, że \(\displaystyle{ a\ne x_0}\) musisz udowodnić.

Ale to dopiero początek rozumowania. Poza tym nie udowodniłeś, że \(\displaystyle{ a^2+3}\) to kolejne miejsce zerowe, czyli że jest różne od obu poprzednich.

JK

Czyli, jeżeli udowodnie, że drugie(jeszcze nie wiadomo) miejsce zerowe nie jest równe pierwszemu i że to zachodzi dla każdego następnego, co oznaczałoby nieskończoną ilość miejsc zerowych, mogę powiedzieć, że ten wielomian nie na pierwiastków rzeczywistych?

wojciechfil20 pisze: ↑15 kwie 2022, o 19:05 Czyli, jeżeli udowodnie, że drugie(jeszcze nie wiadomo) miejsce zerowe nie jest równe pierwszemu i że to zachodzi dla każdego następnego, co oznaczałoby nieskończoną ilość miejsc zerowych, mogę powiedzieć, że ten wielomian nie na pierwiastków rzeczywistych?

Tak, ale zauważ, że każdy kolejny pierwiastek trzeba porównać ze wszystkimi poprzednimi. To, że każdy kolejny pierwiastek jest różny od poprzedniego pokazuje się tak samo jak to, że drugi jest różny od pierwszego. Ale żeby pokazać, że np. dziesiąty jest różny od drugiego musisz wymyślić jakiś sposób (różność nie jest przechodnia).

Jeżeli uda Ci się uzasadnić, że każdy kolejny pierwiastek jest różny od wszystkich poprzednich, to będziesz miał dobre rozumowanie nie wprost.

JK