Matematyka.pl

\(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2}+b)(x+2)}\), \(\displaystyle{ b \in R}\)

jeśli wiadomo, że
a)wartość z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+5)}\) wynosi \(\displaystyle{ -27}\)
b)wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{2}+10x+16}\)
c)wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x)=x ^{3}+2x ^{2}-9x-18}\) mają takie same pierwiastki
d)wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek wielokrotny. Podaj ten pierwiastek.

Dziękuję.

a) Skorzystaj z faktu, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-a)}\) jest równa \(\displaystyle{ W(a)}\).
b) Przedstaw \(\displaystyle{ P(x)}\) w postaci iloczynowej i skorzystaj z tego, że jak jest podzielny przez iloczyn, to przez każdy czynnik jest też podzielny (reszta równa zero). Skorzystaj wtedy dwa razy z twierdzenia z ppkt. a)
c) Oblicz pierwiastki \(\displaystyle{ Q(x)}\) poprzez grupowanie wyrazów.
d) Zastanów się, jakie pierwiastki (konkretne liczby) mogą być tym dwukrotnym pierwiastkiem. Są takie dwie. Potem dopasuj odpowiednio szukany parametr.

\(\displaystyle{ W(a)=(25+b)(-5+2)}\)
\(\displaystyle{ b=-25}\)

O takie coś?

loitzl9006 pisze: d) Zastanów się, jakie pierwiastki (konkretne liczby) mogą być tym dwukrotnym pierwiastkiem. Są takie dwie. Potem dopasuj odpowiednio szukany parametr.

Mam pytanie odnośnie tego:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+b)(x+2)}\), czyli pierwiastkiem może być -2:
\(\displaystyle{ 0=(4+b)(-2+2) \Rightarrow b=-4}\) ?
I druga opcja x=0 i b=0 ?

Warlok20 pisze:\(\displaystyle{ W(a)=(25+b)(-5+2)}\)
\(\displaystyle{ b=-25}\)

O takie coś?

Tak.

marrrcin,

Mam pytanie odnośnie tego:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+b)(x+2)}\), czyli pierwiastkiem może być \(\displaystyle{ -2}\):
\(\displaystyle{ 0=(4+b)(-2+2) \Rightarrow b=-4}\) ?
I druga opcja x=0 i b=0 ?

tutaj masz rację. Ale co do tego pierwszego podpunktu to nie zgodzę się, że \(\displaystyle{ b=-25}\) . Reszta \(\displaystyle{ W(a)}\) ma wynosić \(\displaystyle{ -27}\) , a nie \(\displaystyle{ 0}\).

loitzl9006 pisze:marrrcin,

Mam pytanie odnośnie tego:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}+b)(x+2)}\), czyli pierwiastkiem może być \(\displaystyle{ -2}\):
\(\displaystyle{ 0=(4+b)(-2+2) \Rightarrow b=-4}\) ?
I druga opcja x=0 i b=0 ?

tutaj masz rację. Ale co do tego pierwszego podpunktu to nie zgodzę się, że \(\displaystyle{ b=-25}\) . Reszta \(\displaystyle{ W(a)}\) ma wynosić \(\displaystyle{ -27}\) , a nie \(\displaystyle{ 0}\).

Dzięki
Tam wyżej nie sprawdzałem. Powinno wyjść -16.

b)czyli mam podzielić przez te oba?\(\displaystyle{ (x+8)(x+2)}\)

\(\displaystyle{ b=-64}\)
\(\displaystyle{ b=0}\)
tak?

c)\(\displaystyle{ x1=-2}\), \(\displaystyle{ x2=3}\), \(\displaystyle{ x3=-3}\)

o to chodzi?

nie, nie podzielić, tylko skorzystać z tego, że jak wiadomo z zadania że \(\displaystyle{ P(x)}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ W(x)}\), to zarówno \(\displaystyle{ \left( x+8 \right)}\) jak i \(\displaystyle{ \left( x+2 \right)}\) są dzielnikami \(\displaystyle{ W(x)}\) . To tak jak z liczbami: jak wiadomo, że coś jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\) , to musi być podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) , jak i \(\displaystyle{ 2}\) bo \(\displaystyle{ 6=3 \cdot 2}\) .
Tak samo tutaj: jak wiesz, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ P(x)}\) czyli \(\displaystyle{ \left( x+2 \right) \left( x+8 \right)}\) to zarówno jeden, jak i drugi czynnik są dzielnikami. A jak są dzielnikami, to dają resztę \(\displaystyle{ 0}\). Skorzystaj zatem z twierdzenia, które podałem w ppkt a) i ułóż odpowiednie równania.

b)\(\displaystyle{ x ^{2}+98x+bx+10b=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+6x+bx+4b=0}\)
O takie coś?

b) \(\displaystyle{ b=-64}\) - to jest dobra odpowiedź, natomiast to co teraz napisałeś to nie rozumiem tego.
Chodziło mi o to żeby skorzystać z tego, że

\(\displaystyle{ W(-8)=0}\)

c) na razie jest dobrze.

Co do c) - pierwiastkami \(\displaystyle{ \left( x ^{2} + b \right)}\) muszą być \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -3}\) .
Parametr \(\displaystyle{ b}\) można zatem zgadnąć.

Czyli b jest poprawnie? \(\displaystyle{ -64}\) i \(\displaystyle{ 0}\)?

\(\displaystyle{ (4+b)(-2+2)}\)
To jak tu \(\displaystyle{ 0}\)?

c)\(\displaystyle{ b=9}\)?

\(\displaystyle{ 0}\) na pewno nie. Wstaw sobie \(\displaystyle{ b=0}\) i spróbuj sobie podzielić \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\) . Widać od razu, że będzie z resztą.

Zobacz poprawkę wyżej.

c) jest źle. Wielomian \(\displaystyle{ \left( x ^{2} + 9 \right)}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych