Matematyka.pl

Witam,
czy mógłby mi ktoś wskazać, gdzie popełniłem błąd, rozwiązując taką nierówność wielomianową:

\(\displaystyle{ 3(x ^{4}-x ^{2}+1)<4-x ^{4} }\)
\(\displaystyle{ 4x ^{4}-3x ^{2}-1<0 }\)

\(\displaystyle{ x ^{2}=t }\) zał.: t>0

\(\displaystyle{ 4t ^{2}-3t-1<0 }\)

\(\displaystyle{ t _{1}=- \frac{1}{4} }\) - sprzeczne z założeniem, odrzucam
\(\displaystyle{ t _{2}=1 }\)

\(\displaystyle{ x ^{2}=t \Leftrightarrow x=1 \vee x=-1 }\)

\(\displaystyle{ 4(x-1) ^{2}(x+1) ^{2}<0 }\)

I tu mi wychodzi brak rozwiązań, a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ (-1;1)}\), a druga sprawa to jak tą postać iloczynową przekształciłem w postać ogólną, to wychodzi mi inna niż ta pierwotna, także coś jest nie halo, nie mogę wyłapać co...

Damieux pisze: ↑16 lut 2024, o 22:15\(\displaystyle{ 3(x ^{4}-x ^{2}+1)<4-x ^{4} }\)
\(\displaystyle{ 4x ^{4}-3x ^{2}-1<0 }\)

\(\displaystyle{ x ^{2}=t }\) zał.: t>0

\(\displaystyle{ 4t ^{2}-3t-1<0 }\)

\(\displaystyle{ t _{1}=- \frac{1}{4} }\) - sprzeczne z założeniem, odrzucam
\(\displaystyle{ t _{2}=1 }\)

Nic nie odrzucasz! Rozwiązujesz nierówność kwadratową, więc rozwiązanie to \(\displaystyle{ t\in\left(-\frac14,1 \right) }\). Jak dołożysz założenie \(\displaystyle{ t\red{\ge}\,0}\), to dostaniesz \(\displaystyle{ t\in\left[0,1 \right) }\), czyli po podstawieniu zwrotnym otrzymujesz \(\displaystyle{ 0\le x^2< 1}\), czyli \(\displaystyle{ x\in(-1,1).}\)

Oczywiście możesz od razu wykonać podstawienie zwrotne do \(\displaystyle{ t\in\left(-\frac14,1 \right) }\), bo z \(\displaystyle{ -\frac14< x^2< 1}\) dostaniesz to samo.

JK