Matematyka.pl

Wykaż, że wielomian stopnia \(\displaystyle{ n\in \NN}\) zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, ma co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków rzeczywistych.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Załóżmy nie wprost, że spełniający warunki zadania wielomian \(\displaystyle{ W(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0}\) ma \(\displaystyle{ k>n}\) pierwiastków rzeczywistych. Wówczas można go przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)...(x-x_k)}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_k \in \RR}\) to pierwiastki tego wielomianu. Ale to oznacza, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest stopnia \(\displaystyle{ k>n}\), gdyż po przemnożeniu nawiasów taki będzie wykładnik największej potęgi zmiennej \(\displaystyle{ x}\). No i mamy sprzeczność. Zatem tych pierwiastków nie może być więcej niż \(\displaystyle{ n}\), czyli musi być ich co najwyżej \(\displaystyle{ n}\).

Dobrze?

Nie każdy wielomian rozkłada sie na czynniki (tylko) liniowe...

No dobra, masz rację, mogą jeszcze wystąpić czynniki stopnia drugiego o ujemnym wyróżniku. Powinienem zatem napisać, że ten wielomian można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)...(x-x_k)P(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) jest iloczynem czynników stopnia drugiego o ujemnym wyróżniku. A właściwie to powinienem nawet napisać, że ten wielomian można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ W(x)=a_n(x-x_1)^{\alpha_1}(x-x_2)^{\alpha_2}...(x-x_n)^{\alpha_n}...(x-x_k)^{\alpha_k}P(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha_i\in\NN,\alpha_i \ge 1}\) bo może się jeszcze zdarzyć, że będą pierwiastki wielokrotne. No, ale to oznacza, że stopień wielomianu będzie tym bardziej większy od \(\displaystyle{ n}\), bo będzie stopnia \(\displaystyle{ \ge k}\). Nie psuje to zatem sprzeczności, która wynika potem.

Czy teraz dobrze mówię?

Wówczas można go przedstawić w postaci

gdyż jest to Twierdzenie Bézouta...?!

No ok, racja, to Twierdzenie Bezouta.

No dobra, ale myślę, że po tej poprawce jest chyba dobrze. Czy dalej czegoś brakuje?

A jeśli wielomian nie ma pierwiastków /tj. \(\displaystyle{ k=0}\)/

Nie bardzo rozumiem w czym to przeszkadza. Najpierw musimy wyjść od jakiegoś stopnia wielomianu \(\displaystyle{ n \ge 0}\). No i pokazuję, że ten wielomian ma co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków. Może to być zero pierwiastków, nigdzie nie wykluczam takiej możliwości.

No i pokazuję, że ten wielomian ma co najwyżej n pierwiastków. Może to być zero pierwiastków, nigdzie nie wykluczam takiej możliwości.

No właśnie, a z tym, że \(\displaystyle{ n>0}\) pozwoli wykluczyć \(\displaystyle{ W \equiv 0}\) ...

Czy chodzi Ci o to, żeby wykluczyć wielomian tożsamościowo równy zeru? No dobra, ale tam na początku jest założenie, że stopień wielomianu \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, więc już tutaj wykluczamy wielomiany stale równe zeru. Bo wielomian \(\displaystyle{ W(x)=0}\), ma stopień minus nieskończoność, co oczywiście nie jest liczbą naturalną.

Dodano po 11 godzinach 24 minutach 54 sekundach:
Dobrze mówię?

Nie. Każdy wielomian stały ma stopień zero

Nie no, chyba się nie zgodzę. W książce do analizy matematycznej, którą posiadam jest wyraźnie napisane, że wielomian zerowy ma stopień minus nieskończoność. Poza tym na Wikipedii też tak jest napisane. Wielomiany postaci \(\displaystyle{ W(x)=a}\) mają stopień zero dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\), natomiast dla \(\displaystyle{ a=0}\) mają stopień \(\displaystyle{ -\infty}\).

Znaczy to jest chyba kwestia umowy, bo znalazłem też inną książkę, w której jest napisane, że wielomian zerowy nie ma stopnia i taką w której jest napisane, że wszystkie wielomiany stałe mają stopień zero.

No dobra, ale przy założeniu, że stopień wielomianu zerowego jest równy \(\displaystyle{ -\infty}\) to czy to rozumowanie, które napisałem jest poprawne?

Nie ma też wyraźnie zaznaczonego, że \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\)...

Dodano po 10 minutach 59 sekundach:

W niektórych kontekstach stopień wielomianu zerowego bywa przyjmowany konwencjonalnie jako
\(\displaystyle{ - \infty}\), aby spełnić pewne własności algebraiczne, np. związane z działaniami na wielomianach.
np. \(\displaystyle{ deg (fg) = deg (f)+ deg(g)}\); lecz jest to nieco "sztuczne".

Jedno psuje, drugie naprawia. Stopień złożenia przestaje być iloczynem stopni