Jaki wielomian ?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Jaki wielomian ?

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wyznaczyć wielomiany \(\displaystyle{ P}\) dla których

\(\displaystyle{ P(x)P(2x^2+1) = P(x^2)(P(2x+1)-4)}\)

gdy \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Jaki wielomian ?

Post autor: arek1357 »

Mam pewne przemyślenia co do tego zadania, wykazałem, że jeżeli \(\displaystyle{ P(x)}\) ma pierwiastki to są one:

\(\displaystyle{ 0, \pm 1, - \frac{1}{2} }\)

Ale przy takich założeniach dochodzę do sprzeczności, że takiego wielomianu nie ma, a może ktoś inny ma coś lepszego i byłbym ciekawy zobaczyć jakie są propozycje do tego skądinąt ciekawego zadania...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Jaki wielomian ?

Post autor: a4karo »

Każdy wielomian stały jest OK
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Jaki wielomian ?

Post autor: Jan Kraszewski »

W jaki sposób wielomian \(\displaystyle{ P(x)=1}\) miałby być dobry? Zawsze wydawało mi się, że \(\displaystyle{ 1\cdot 1\ne 1\cdot (1-4).}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Jaki wielomian ?

Post autor: a4karo »

Oj faktycznie, ciapa ze mnie.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Jaki wielomian ?

Post autor: arek1357 »

\(\displaystyle{ \pm 1, 0, - \frac{1}{2} }\)

Chodziło mi o to, że są to pierwiastki jakiegoś wielomianu, bo wykazałem, że jeżeli jakiś nietrywialny wielomian miałby spełniać to równanie to
powinien mieć takie pierwiastki, ale przy tym założeniu i przy dalszych obliczeniach dochodziłem do sprzeczności i wychodziło mi, że tylko wielomian zerowy spełnia to równanie, ale nie chce mi się w to wierzyć i dlatego się pytam czy może ktoś to liczył i znalazł coś sensownego...

Podstawiałem coś takiego:

\(\displaystyle{ P(x)=x^k(x-1)^l(x+1)^l(x+ \frac{1}{2} )^s}\)

Daje to potem sprzeczność...
ODPOWIEDZ