Matematyka.pl

Witam,

jak rozwiązać to równanie:

\(\displaystyle{ 24x^{3} + 10x ^{2} - 3x - 1 = 0}\) ?

Z góry dzięki,
Damian

Można z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Znasz?

sprawdzasz przez co dzieli sie współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny, w Twoim przypadku jest to:
\(\displaystyle{ p \in \left\{ 1, -1, -2, 2, -4, 4, -6, 6, -8, 8, -3, 3\right\}}\)
oraz wyznaczasz drugi zbór, przez który dzielą sie pierwiastki ze zbioru \(\displaystyle{ p}\), jest to 1 lub - 1 więc \(\displaystyle{ q \in \left\{ 1, -1, -2, 2, -4, 4, -6, 6, -8, 8, -3, 3\right\}}\)
i niestety musisz sprawdzać każdy z tych pierwiastków czy wyjdzie Ci po podstawieniu 0

Ja proponuję jedno z następujących podstawień

Niech

\(\displaystyle{ f\left( x\right)=24x^3+10x^2-3x-1}\)

\(\displaystyle{ x=u+v- \frac{5}{36}\\
x=u-\frac{f^{\prime}\left( - \frac{5}{36} \right) }{72u}-\frac{5}{36}}\)

Korzystając z jednego z tych podstawień otrzymasz równanie kwadratowe

Jeżeli otrzymane równanie będzie miało ujemny wyróżnik to
możesz albo bawić się zespolonymi , albo wrócić do wyjściowego równania i przekształcić
je do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego

Tutaj akurat ma pierwiastki wymierne
Ja jednak uważam podobnie jak cris_f że lepiej korzystać z metod które prowadzą do celu
W przypadku twierdzenia o pierwiastkach wymiernych nierzadko trzeba sprawdzać sporo dzielników
i nie zawsze można takowe znależć i nieraz po długiej zabawie trzeba wrócić do bardziej standardowych metod
Dla równań trzeciego i czwartego stopnia metody są dobrze opisane
Dla równań stopnia większego niż cztery nie wystarczą cztery działania arytmetyczne i
wyciąganie pierwiastków , nie ma też w sieci dobrze opisanej metody na takie równania
więc tam zostają takie sztuczki jak ta opisana przez poprzednika

Wracając do równania trzeciego stopnia , tutaj istnieje dość dobrze opisana metoda
na takie równania więc nie ma co zaprzątać sobie głowy sprawdzaniem pierwiastków wymiernych
(gdybyś miał losowo wybrane współczynniki to w większości przypadków byłaby to strata czasu)

Podstawienia które podałem zawsze sprowadzą równanie do równania kwadratowego
(jeżeli skorzystasz z pierwszego podstawienia to równanie które otrzymasz grupujesz i przekształcasz
w układ równań przypominający wzory Viete równania kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
jeżeli wybierzesz drugie podstawienie to aby otrzymać równanie kwadratowe na \(\displaystyle{ u^3}\)
wystarczy tylko pomnożyć przez \(\displaystyle{ u^3}\) )

Jejku, ale dlaczego z takiej armaty? Skoro zadanie jest ułożone idealnie pod twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

Czyli co mam zrobić, bo nie rozumię?

dzun pisze:sprawdzasz przez co dzieli sie współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny, w Twoim przypadku jest to:
\(\displaystyle{ p \in \left\{ 1, -1, -2, 2, -4, 4, -6, 6, -8, 8, -3, 3\right\}}\)
oraz wyznaczasz drugi zbór, przez który dzielą sie pierwiastki ze zbioru \(\displaystyle{ p}\), jest to 1 lub - 1 więc \(\displaystyle{ q \in \left\{ 1, -1, -2, 2, -4, 4, -6, 6, -8, 8, -3, 3\right\}}\)
i niestety musisz sprawdzać każdy z tych pierwiastków czy wyjdzie Ci po podstawieniu 0

Chyba coś pomyliłeś.
\(\displaystyle{ p\in \left\{ -1,1\right\}}\)
\(\displaystyle{ q \in \left\{ 1, -1, -2, 2, -4, 4, -6, 6, -8, 8, -3, 3\right\}}\)

\(\displaystyle{ \frac{p}{q} \in \left\{-1,1, \frac{1}{2},- \frac{1}{2},... \right\}}\)

damianjnc, i widzisz ile masz tych liczb wymiernych do sprawdzania
a tak jak zastosujesz któreś z podanych przeze mnie podstawień

\(\displaystyle{ x=u+v- \frac{5}{36}\\
x=u-\frac{f^{\prime}\left( -\frac{5}{36}\right) }{72u}-\frac{5}{36}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ f\left( x\right)=24x^3+10x^{2}-3x-1\\
f^{\prime}\left( x\right)=72x^2+20x-3\\}\)

to równanie grzecznie zredukuje się do kwadratowego

Jeśli zastosujesz podstawienie

\(\displaystyle{ x=2\sqrt{-\frac{f^{\prime}\left( -\frac{5}{36}\right) }{72}}\cos{t}-\frac{5}{36}}\)

to równanie grzecznie przyjmie postać wzoru na cosinus kąta potrojonego

Tak jest lepiej ale jak chcesz bawić się sprawdzaniem liczb wymiernych to proszę bardzo

Nie tak dużo. \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) będzie pierwiastkiem.

Czyli ma wyjść \(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{2})(24x ^{2} - 2x - 2)}\) ?

damianjnc pisze:Czyli ma wyjść \(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{2})(24x ^{2} - 2x - 2)}\) ?

Tak. Teraz można jeszcze rozłożyć równanie kwadratowe na dwa czynniki.

Zanim zaczniesz liczyć pierwiastki tego drugiego nawiasu wyłącz \(\displaystyle{ 2}\) przed nawias (będą trochę mniejsze liczby).

Powinno wyjść \(\displaystyle{ x=-0,5}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{2}{3}}\)

Licz jeszcze raz.

Ile powinno wyjść?