Interpolacja Wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 26 lut 2022, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 17
- Podziękował: 3 razy
Interpolacja Wielomianu
Niech \(\displaystyle{ f(X) \in \RR[X]}\) będzie takim wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ f(k)= \frac{k}{k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1, \ldots ,n}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ f(n+1)}\). Podpowiem, że zadanie pochodzi z książki "Równania i Nierówności" Pana Neugebauera(Ćw 1.52).
Ostatnio zmieniony 19 lip 2022, o 23:35 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Pierwsza sprawa, to podać wzór owego wielomianu. Czy z tym krokiem masz jakieś trudności?
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 26 lut 2022, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 17
- Podziękował: 3 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Żadnych, rozpisałem to sobie jako wielomian interpolacyjny Lagrange i mam sumę z dwumianem w środku ale nie wiem co dalej, i czy w te stronę.3a174ad9764fefcb pisze: ↑20 lip 2022, o 12:57 Pierwsza sprawa, to podać wzór owego wielomianu. Czy z tym krokiem masz jakieś trudności?
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Czyli rozumiem że chodzi Ci o obliczanie sum takich jak na przykład
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \frac{k}{n+2} \binom{n+2}{k+1}.}\)
Dla \(\displaystyle{ k=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 0}\), więc możemy ten wyraz pominąć. Następnie dopisujemy \(\displaystyle{ x^{k-1}}\) do każdego wyrazu, otrzymując funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = \sum_{k=1}^n (-1)^{n-k} \frac{k}{n+2} \binom{n+2}{k+1}x^{k-1}.}\)
Interesuje nas tylko wartość dla \(\displaystyle{ x=1}\), ale dzięki zdefiniowaniu takiej funkcji możemy użyć metod analizy matematycznej. Tak zdefiniowany wielomian \(\displaystyle{ g}\) jest pochodną pewnego innego wielomianu (jakiego?), którego sumę możemy dość łatwo obliczyć. Następnie po zróżniczkowaniu otrzymujemy sumę \(\displaystyle{ g(x)}\).
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \frac{k}{n+2} \binom{n+2}{k+1}.}\)
Dla \(\displaystyle{ k=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 0}\), więc możemy ten wyraz pominąć. Następnie dopisujemy \(\displaystyle{ x^{k-1}}\) do każdego wyrazu, otrzymując funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = \sum_{k=1}^n (-1)^{n-k} \frac{k}{n+2} \binom{n+2}{k+1}x^{k-1}.}\)
Interesuje nas tylko wartość dla \(\displaystyle{ x=1}\), ale dzięki zdefiniowaniu takiej funkcji możemy użyć metod analizy matematycznej. Tak zdefiniowany wielomian \(\displaystyle{ g}\) jest pochodną pewnego innego wielomianu (jakiego?), którego sumę możemy dość łatwo obliczyć. Następnie po zróżniczkowaniu otrzymujemy sumę \(\displaystyle{ g(x)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 1 maja 2019, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 8 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Nie wiem do jakiego wyniku doszedł autor wątku, ale zdaje mi się, że chodzi raczej o obliczenie czegoś w rodzaju: \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}- \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k} }{ {n \choose k} } }\). Poprawcie mnie, jeśli się mylę.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x+1}, \ \ x = 0, 1,2, ..., n. }\)
Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest ciągła dla \(\displaystyle{ x\in \RR \setminus \{-1\}, }\) ma \(\displaystyle{ (n+1) }\) -szą pochodną.
Znajdujemy Wielomian Interpolacyjny Newtona \(\displaystyle{ p_{n}(x) }\) z jednokrotnymi różnicami dzielonymi "wprzód"
\(\displaystyle{ f[x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}] = \frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!},}\)
wyprowadzając wzór na \(\displaystyle{ (n+1)}\) - szą pochodną funkcji \(\displaystyle{ f.}\)
Obliczamy wartość \(\displaystyle{ p(n+1). }\)
Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest ciągła dla \(\displaystyle{ x\in \RR \setminus \{-1\}, }\) ma \(\displaystyle{ (n+1) }\) -szą pochodną.
Znajdujemy Wielomian Interpolacyjny Newtona \(\displaystyle{ p_{n}(x) }\) z jednokrotnymi różnicami dzielonymi "wprzód"
\(\displaystyle{ f[x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}] = \frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!},}\)
wyprowadzając wzór na \(\displaystyle{ (n+1)}\) - szą pochodną funkcji \(\displaystyle{ f.}\)
Obliczamy wartość \(\displaystyle{ p(n+1). }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Nie wiem, co uzyskał MikizAfryki, ale według mnie współczynnik dwumianowy będzie w liczniku, nie w mianowniku. Mamy bowiemWojciech_Domin pisze: ↑20 lip 2022, o 18:23 Nie wiem do jakiego wyniku doszedł autor wątku, ale zdaje mi się, że chodzi raczej o obliczenie czegoś w rodzaju: \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}- \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k} }{ {n \choose k} } }\). Poprawcie mnie, jeśli się mylę.
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{k}{k+1} \cdot \frac{x(x-1)\ldots(x-(k-1))(x-(k+1))\ldots(x-n)}{k(k-1)\ldots(k-(k-1))(k-(k+1))\ldots(k-n)}}\).
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=n+1}\) licznik dużego ułamka sprowadza się do \(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{n+1-k}}\), a mianownik do \(\displaystyle{ (-1)^{n-k}\;k!\;(n-k)!}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Ja bym zrobił tak: wielomian \(\displaystyle{ g(x) = (x+1)f(x)-x}\) jest stopnia najwyżej \(\displaystyle{ n+1}\) i ma miejsca zerowe \(\displaystyle{ 0, \ldots, n}\), więc jest postaci \(\displaystyle{ g(x) = ax(x-1)(x-2) \ldots (x-n)}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x=-1}\) dostajemy \(\displaystyle{ a = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}}\), a zatem \(\displaystyle{ g(n+1) = (-1)^{n+1}}\) i stąd \(\displaystyle{ f(n+1) = \frac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 26 lut 2022, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 17
- Podziękował: 3 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Będzie to pochodna \(\displaystyle{ G(x)= \sum_{k=1}^{n} (-1) ^{n-k} \frac{ {n+2 \choose k+1} }{n+2} x ^{k}= \frac{1}{n+2} \sum_{k=1}^{n} (-1) ^{n-k} {n+2 \choose k+1} x ^{k} }\) i szczerze mówiąc nie mam pojęcia w jaki sposób rożniczkując G(x) mam to znaleźć. (za rachunek różniczkowy jescze się jako tako nie brałem znam podstawowe wzory itd ale nic z praktycznego zastosowania może poza optymalizacją i ogółem wiedzą licealną)3a174ad9764fefcb pisze: ↑20 lip 2022, o 17:13 Czyli rozumiem że chodzi Ci o obliczanie sum takich jak na przykład
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \frac{k}{n+2} \binom{n+2}{k+1}.}\)
Dla \(\displaystyle{ k=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 0}\), więc możemy ten wyraz pominąć. Następnie dopisujemy \(\displaystyle{ x^{k-1}}\) do każdego wyrazu, otrzymując funkcję:
\(\displaystyle{ g(x) = \sum_{k=1}^n (-1)^{n-k} \frac{k}{n+2} \binom{n+2}{k+1}x^{k-1}.}\)
Interesuje nas tylko wartość dla \(\displaystyle{ x=1}\), ale dzięki zdefiniowaniu takiej funkcji możemy użyć metod analizy matematycznej. Tak zdefiniowany wielomian \(\displaystyle{ g}\) jest pochodną pewnego innego wielomianu (jakiego?), którego sumę możemy dość łatwo obliczyć. Następnie po zróżniczkowaniu otrzymujemy sumę \(\displaystyle{ g(x)}\).
Dodano po 19 sekundach:
dokładnie tak mam3a174ad9764fefcb pisze: ↑21 lip 2022, o 09:45Nie wiem, co uzyskał MikizAfryki, ale według mnie współczynnik dwumianowy będzie w liczniku, nie w mianowniku. Mamy bowiemWojciech_Domin pisze: ↑20 lip 2022, o 18:23 Nie wiem do jakiego wyniku doszedł autor wątku, ale zdaje mi się, że chodzi raczej o obliczenie czegoś w rodzaju: \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}- \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k} }{ {n \choose k} } }\). Poprawcie mnie, jeśli się mylę.
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{k}{k+1} \cdot \frac{x(x-1)\ldots(x-(k-1))(x-(k+1))\ldots(x-n)}{k(k-1)\ldots(k-(k-1))(k-(k+1))\ldots(k-n)}}\).
Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=n+1}\) licznik dużego ułamka sprowadza się do \(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{n+1-k}}\), a mianownik do \(\displaystyle{ (-1)^{n-k}\;k!\;(n-k)!}\)
Dodano po 6 minutach 36 sekundach:
Dziękuję bardzo! Tak skupiłem się na przykładzie obok, że nawet nie próbowałem robić inaczej niż wielomianem Lagrange.Dasio11 pisze: ↑21 lip 2022, o 15:13 Ja bym zrobił tak: wielomian \(\displaystyle{ g(x) = (x+1)f(x)-x}\) jest stopnia najwyżej \(\displaystyle{ n+1}\) i ma miejsca zerowe \(\displaystyle{ 0, \ldots, n}\), więc jest postaci \(\displaystyle{ g(x) = ax(x-1)(x-2) \ldots (x-n)}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR}\). Podstawiając \(\displaystyle{ x=-1}\) dostajemy \(\displaystyle{ a = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}}\), a zatem \(\displaystyle{ g(n+1) = (-1)^{n+1}}\) i stąd \(\displaystyle{ f(n+1) = \frac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Jeszcze przed zróżniczkowaniem trzeba by było zwinąć tę sumę do czegoś prostszego, bo inaczej nie ma żadnej korzyści ze zróżniczkowania (po prostu otrzymamy to samo co mieliśmy). Jest to trochę koszmarne, dlatego cieszę się, że Dasio11 zaproponował prostszy sposób.MikizAfryki pisze: ↑21 lip 2022, o 17:20 Będzie to pochodna \(\displaystyle{ G(x)= \sum_{k=1}^{n} (-1) ^{n-k} \frac{ {n+2 \choose k+1} }{n+2} x ^{k}= \frac{1}{n+2} \sum_{k=1}^{n} (-1) ^{n-k} {n+2 \choose k+1} x ^{k} }\) i szczerze mówiąc nie mam pojęcia w jaki sposób rożniczkując G(x) mam to znaleźć.
Bez pochodnych też można takie sumy zwijać. W wyrażeniuMikizAfryki pisze: ↑21 lip 2022, o 17:20 (za rachunek różniczkowy jescze się jako tako nie brałem znam podstawowe wzory itd ale nic z praktycznego zastosowania może poza optymalizacją i ogółem wiedzą licealną)
\(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n+2}\sum_{k=1}^n(-1)^kk\binom{n+2}{k+1}}\)
najbardziej przeszkadza nam wyraz \(\displaystyle{ k}\). Gdyby tam było \(\displaystyle{ k+1}\), to moglibyśmy je ukryć we współczynniku dwumianowym korzystając z równości \(\displaystyle{ \frac{k+1}{n+2}\binom{n+2}{k+1}=\binom{n+1}{k}}\). No ale to żaden problem, bo możemy sobie zamienić \(\displaystyle{ k}\) na \(\displaystyle{ (k+1)-1}\) i wtedy będziemy mieć dwie sumy.
\(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n+2}\sum_{k=1}^n(-1)^kk\binom{n+2}{k+1} = \\
=\frac{(-1)^n}{n+2}\sum_{k=1}^n(-1)^k(k+1)\binom{n+2}{k+1} - \frac{(-1)^n}{n+2}\sum_{k=1}^n(-1)^k \binom{n+2}{k+1}=\\
=(-1)^n\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n+1}{k} + \frac{(-1)^n}{n+2}\sum_{k=2}^{n+1}(-1)^k \binom{n+2}{k}=\\
=(-1)^n((1-1)^{n+1}-1-(-1)^{n+1}) + \frac{(-1)^n}{n+2}((1-1)^{n+2}-1+(n+2)-(-1)^{n+2})=\\
=\frac{(-1)^{n+1}(n+2)+(n+2)+(-1)^{n+1}+(-1)^n(n+2)-1}{n+2}=\frac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}
}\)
Jak widać, jest to dość żmudne i łatwo się pomylić.
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 26 lut 2022, o 23:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 17
- Podziękował: 3 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Skąd taka równość? Jeżeli n jest parzyste to wszystko się poskraca (w tym wypadku okej) a dla nieparzystego zostanie wyraz \(\displaystyle{ {n+1 \choose \frac{n+1}{2} }(-1)^{ \frac{n+1}{2} }.}\) Tak mi się przynajmniej wydaje3a174ad9764fefcb pisze: ↑21 lip 2022, o 18:09\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n+1}{k}=((1-1)^{n+1}-1-(-1)^{n+1})
}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Interpolacja Wielomianu
Chodzi tu o sławny wzór dwumianowy:
\(\displaystyle{ (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^ky^{n-k}}\).
Zgodnie z tym wzorem (tylko z \(\displaystyle{ n+1}\) zamiast \(\displaystyle{ n}\)), mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1}\binom {n+1}k(-1)^k = ((-1)+1)^{n+1}=0^{n+1}}\).
W przykładzie jeszcze musieliśmy uwzględnić wyrazy dla \(\displaystyle{ k=0}\) i \(\displaystyle{ k=n+1}\), których nie było w sumie.
\(\displaystyle{ (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^ky^{n-k}}\).
Zgodnie z tym wzorem (tylko z \(\displaystyle{ n+1}\) zamiast \(\displaystyle{ n}\)), mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1}\binom {n+1}k(-1)^k = ((-1)+1)^{n+1}=0^{n+1}}\).
W przykładzie jeszcze musieliśmy uwzględnić wyrazy dla \(\displaystyle{ k=0}\) i \(\displaystyle{ k=n+1}\), których nie było w sumie.