Ilosc rozwiazan
-
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 4 wrz 2009, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
Ilosc rozwiazan
Dwa różne wielomiany \(\displaystyle{ f(x)= x^{2} +ax+b}\) i \(\displaystyle{ g(x)= x^{2} +cx+d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ f(19)+f(98)=g(19)+g(98)}\). Ile rozwiązań ma równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)?
Ilosc rozwiazan
\(\displaystyle{ f(19)+f(98)=g(19)+g(98)}\)
\(\displaystyle{ 19^2+19a+b+98^2+98a+b=19^2+19c+d+98^2+98c+d}\)
\(\displaystyle{ 117a+2b=117c+2d}\)
\(\displaystyle{ 117(a-c)=2(d-b)}\)
\(\displaystyle{ \frac{117}{2}(a-c)=d-b}\) (1)
\(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ x(a-c)=d-b}\) (2)
Wstawiając (1) do (2):
\(\displaystyle{ x(a-c)=\frac{117}{2}(a-c)}\)
\(\displaystyle{ (x-\frac{117}{2})(a-c)=0}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{117}{2} \vee a=c}\)
Gdy \(\displaystyle{ a=c}\), wtedy \(\displaystyle{ b=d}\).
\(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+ax+b}\)
\(\displaystyle{ 0=0}\)
Równanie tożsamościowe.
\(\displaystyle{ 19^2+19a+b+98^2+98a+b=19^2+19c+d+98^2+98c+d}\)
\(\displaystyle{ 117a+2b=117c+2d}\)
\(\displaystyle{ 117(a-c)=2(d-b)}\)
\(\displaystyle{ \frac{117}{2}(a-c)=d-b}\) (1)
\(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ x(a-c)=d-b}\) (2)
Wstawiając (1) do (2):
\(\displaystyle{ x(a-c)=\frac{117}{2}(a-c)}\)
\(\displaystyle{ (x-\frac{117}{2})(a-c)=0}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{117}{2} \vee a=c}\)
Gdy \(\displaystyle{ a=c}\), wtedy \(\displaystyle{ b=d}\).
\(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+ax+b}\)
\(\displaystyle{ 0=0}\)
Równanie tożsamościowe.
-
- Użytkownik
- Posty: 2372
- Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 245 razy
Ilosc rozwiazan
Nie bardzo kumam rozwiązanie, a co gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\) ?del1071 pisze:Gdy \(\displaystyle{ a=c}\), wtedy \(\displaystyle{ b=d}\).
\(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+cx+d}\)
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=x^2+ax+b}\)
\(\displaystyle{ 0=0}\)
Równanie tożsamościowe.
Ilosc rozwiazan
Gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\), można podzielić obie strony równania \(\displaystyle{ x(a-c)=\frac{117}{2}(a-c)}\) przez \(\displaystyle{ a-c}\).
Wtedy \(\displaystyle{ x=\frac{117}{2}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ x=\frac{117}{2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2372
- Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 245 razy
Ilosc rozwiazan
Czyli odpowiedzią jest:
"Gdy \(\displaystyle{ a=c}\) równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (do tego też doszedłem ), gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\) jedno rozwiązanie." ?
Mogłoby się wydawać, że te parabole (o takim samym współczynniku "a") mogą mieć jeszcze zero punktów wspólnych (czyli zero rozwiązań tej równości), ale najprawdopodobniej podany w treści warunek odrzuca taką możliwość. Zgadza sie?
"Gdy \(\displaystyle{ a=c}\) równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (do tego też doszedłem ), gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\) jedno rozwiązanie." ?
Mogłoby się wydawać, że te parabole (o takim samym współczynniku "a") mogą mieć jeszcze zero punktów wspólnych (czyli zero rozwiązań tej równości), ale najprawdopodobniej podany w treści warunek odrzuca taką możliwość. Zgadza sie?
Ilosc rozwiazan
Tak.TheBill pisze:Czyli odpowiedzią jest:
"Gdy \(\displaystyle{ a=c}\) równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (do tego też doszedłem ), gdy \(\displaystyle{ a \neq c}\) jedno rozwiązanie." ?
Tak sądzę.TheBill pisze:Mogłoby się wydawać, że te parabole (o takim samym współczynniku "a") mogą mieć jeszcze zero punktów wspólnych (czyli zero rozwiązań tej równości), ale najprawdopodobniej podany w treści warunek odrzuca taką możliwość. Zgadza sie?