Matematyka.pl

Cześć,
potrzebuję pomocy w zadaniu o treści:
Wzór funkcji f można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ f(x)=g(x)+h(x)}\), gdzie funkcja g jest parzysta, a funkcja h - nieparzysta. Zapisz wzory funkcji g i h.
a)\(\displaystyle{ f(x)= \frac{3x ^{4}+x ^{3} }{5}-x ^{2} }\)

b) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{3}{x}+ \frac{4}{x ^{2} } +3 }\)

c) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{6x ^{6}+3x ^{5} }{x}+\left| \frac{x}{2} \right| }\)

Czy chodzi o to, aby składniki tej funkcji podzielić na dwa, aby jeden składnik tworzył funkcję parzystą, a drugi nieparzystą?

Wsk. jeżeli `g` i `h` maja być szukanym rozkładem na funkcję parzysta i nieparzystą, to
`f(x)=g(x)+h(x)`
`f(-x)=g(-x)+h(-x)=...`

Wylicz stąd `g(x)` oraz `h(x)` w zaelżnośći od `f(x)` i `f(-x)`

a)
\(\displaystyle{ f(-x)= \frac{3(-x) ^{4}+(-x) ^{3} }{5}- (-x)^{2} = \frac{3 x^{4}- x^{3} }{5}- x^{2}= \frac{3 x^{4} }{5} - x^{2}- \frac{ x^{3} }{5} }\)
\(\displaystyle{ g(x)= \frac{3 x^{4} }{5} - x^{2}}\) - parzysta ( bo g(x)=g(-x)
\(\displaystyle{ h(x)= \frac{ x^{3} }{5}}\)- nieparzysta, bo h(-x)= -h(x)
Dobrze?

Tak. Ale chodziło mi o to, żebyś wyznaczył wzór na `g` i `h` niezależny od szczególnej postaci funkcji `f`. Zastanów się nad moją wskazówką

\(\displaystyle{ f(x)=g(x)+h(x)}\)
\(\displaystyle{ g(x)=f(x)-h(x)}\)
\(\displaystyle{ h(x)=f(x)-g(x)}\)
Już, i co teraz?

Dodano po 2 minutach 15 sekundach:
Nadal muszę wydedukować, jak to podzielić na dwa składniki, żeby jeden tworzył funkcję parzystą, a drugi nieparzystą. A jeśli jeden z tych składników wyznaczę, to drugi składnik będzie po prostu resztą.

W ogólności możesz skorzystać ze wskazówki:

a4karo pisze: ↑12 lip 2022, o 21:26 `f(-x)=g(-x)+h(-x)=...`

W tym zadaniu jednak funkcje niemal od razu są zapisane jako sumy pewnych funkcji parzystych i nieparzystych, więc żaden ogólny wzór nie jest potrzebny.

Damieux pisze: ↑20 lip 2022, o 21:03 \(\displaystyle{ f(x)=g(x)+h(x)}\)
\(\displaystyle{ g(x)=f(x)-h(x)}\)
\(\displaystyle{ h(x)=f(x)-g(x)}\)
Już, i co teraz?

Dodano po 2 minutach 15 sekundach:
Nadal muszę wydedukować, jak to podzielić na dwa składniki, żeby jeden tworzył funkcję parzystą, a drugi nieparzystą. A jeśli jeden z tych składników wyznaczę, to drugi składnik będzie po prostu resztą.

No przecież nie o to chodzi.

jeżeli `g` jest parzysta, a `h` nieparzysta, to
`f(x)=g(x)+h(x)`
`f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)`

masz układ równań z niewiadomymi `g(x)` i `h(x)`. Wyznacz je.

Dodano po 1 minucie 4 sekundach:

3a174ad9764fefcb pisze: ↑21 lip 2022, o 09:49 W ogólności możesz skorzystać ze wskazówki:

a4karo pisze: ↑12 lip 2022, o 21:26 `f(-x)=g(-x)+h(-x)=...`

W tym zadaniu jednak funkcje niemal od razu są zapisane jako sumy pewnych funkcji parzystych i nieparzystych, więc żaden ogólny wzór nie jest potrzebny.

Czy to znaczy, że nie warto znać metody, która działa zawsze?

a4karo pisze: ↑21 lip 2022, o 16:25 Czy to znaczy, że nie warto znać metody, która działa zawsze?

Czasem warto, ale nie każdemu się to w życiu przyda.

\(\displaystyle{ h(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2} }\)
\(\displaystyle{ g(x)= \frac{f(-x)+f(x)}{2} }\)
Ok coś takiego mi wyszło

I o to chodziło