Niech \(\displaystyle{ a < b < c}\) będą różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 - 3x -1 =0}\) . Udowodnić (elementarnie i trygonometrią), że \(\displaystyle{ c^2 - c = b^2 -a}\).
Pierwiastki są rzeczywiście rzeczywiste, można to sprawdzić biorąc np. \(x=-2,-1, 1, 2\). Mamy \(a+b+c=0,\ ab+bc+ca=-3,\ abc=1\). Zero nie jest rozwiązaniem danego równania, więc mamy \(c>0>a\) (reguła znaków Kartezjusza mówi, że wówczas także \(0>b\), ale to nie jest niezbędne). Łatwo sprawdzić, że jeżeli \(x=c\) jest rozwiązaniem, to \(x=-\frac{1}{c+1}\) oraz \(x=-\frac{c+1}{c}\) również nimi są, a ponieważ \(-\frac{1}{c+1}>-\frac{c+1}{c}\) dla dodatnich \(c\), więc \(b=-\frac{1}{c+1}\) i \(a=-\frac{c+1}{c}\). Ta ostatnia równość jest równoważna (bo \(c\neq 1\)) \[\frac{1}{c}-c=ac-a\] lub \[3+ab-c=3+ac-a\] lub \[-(a+b)c-c=-(a+c)b-a\] lub \[c^2-c=b^2-a,\] c.b.d.o.
Oczywiście "na brudno" to było robione w drugą stronę, dlatego wygląda na wyciąganie różnych rzeczy z różnych miejsc.
2.:
Co do rozwiązania trygonometrycznego, to chyba trzeba by najpierw rozwiązać dane równanie. Biorąc \(x=2y\) otrzymujemy \(4y^3-3y=\frac{1}{2}\). Biorąc teraz \(y=\cos\psi\) mamy \(\frac{1}{2}=4\cos^3\psi-3\cos\psi=\cos 3\psi\). Mamy też \(\cos 3\psi=\cos (2\pi-3\psi)=\cos (2\pi+3\psi)\), więc zbiór rozwiązań to \(\left\{2\cos\frac{\pi}{9},2\cos\frac{5\pi}{9},2\cos\frac{7\pi}{9}\right\}\). Spośród argumentów kosinusa z tego zbioru tylko \(\frac{\pi}{9}\) leży w pierwszej ćwiartce, więc na pewno \(c=2\cos\frac{\pi}{9}\). Ponieważ także (patrzymy na nieparzystość sinusa i ćwiartki, w których leżą argumenty) \[\cos\frac{5\pi}{9}-\cos\frac{7\pi}{9}=-2\sin\frac{12\pi}{18}\sin\left(-\frac{2\pi}{18}\right)>0,\] więc \(b=2\cos\frac{5\pi}{9}\) oraz \(a=2\cos\frac{7\pi}{9}\), czyli mamy dowieść \[4\cos^2\frac{\pi}{9}-2\cos\frac{\pi}{9}=4\cos^2\frac{5\pi}{9}-2\cos\frac{7\pi}{9}\] lub \[2\left(\cos\frac{\pi}{9}-\cos\frac{5\pi}{9}\right)\left(\cos\frac{\pi}{9}+\cos\frac{5\pi}{9}\right)=\cos\frac{\pi}{9}-\cos\frac{7\pi}{9}.\] Przekształcamy osobno strony ostatniej równości wykorzystując parzystość, wzory na sumę i różnicę kosinusów, na sinus podwojonego kąta oraz wartości funkcji dla szczególnych argumentów\[L=2\cdot(-2)\sin\frac{\pi}{3}\sin\left(-\frac{2\pi}{9}\right)\cdot 2\cos\frac{\pi}{3}\cos\left(-\frac{2\pi}{9}\right)=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{9}=\sqrt{3}\sin\frac{4\pi}{9},\]
\[P=-2\sin\frac{4\pi}{9}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\sin\frac{4\pi}{9},\] zatem \(L=P\), tak jak chcieliśmy.
