Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x^2-2mx+m^2-1=0}\) ma pierwiastki rzeczywiste należące do przedziału \(\displaystyle{ \left[ -2,4\right] }\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

A to jest elementarz licealny, więc zrób coś sam.

No ok, ale jak ten warunek, że w przedziale \(\displaystyle{ \left[ -2,4\right] }\) zapisać za pomocą wzorów Vieta? Bo to chyba trzeba wzorami Vieta zrobić?

Chociaż mam pewien pomysł:
\(\displaystyle{ -2 \le x_1 \le 4}\)
\(\displaystyle{ -2 \le x_2 \le 4}\)
\(\displaystyle{ 0 \le x_1+2 \le 6}\)
\(\displaystyle{ 0 \le x_2+2 \le 6}\)
I teraz chyba równoważnie można pomnożyć stronami te dwie ostatnie nierówności? Zakładając, że tak dostaję:
\(\displaystyle{ 0 \le (x_1+2)(x_2+2) \le 36}\) czyli
\(\displaystyle{ 0 \le x_1x_2+2(x_1+x_2) \le 32}\)
i możemy zastosować wzory Vieta.
Czy takie rozumowanie jest poprawne?

Uparłes się na Viete? Bez sensu.

Narysuj sobie taką parabole że to zobaczysz warunki konieczne i wystarczające

No, ale jak mam narysować tą parabolę, jak mam nieznany parametr \(\displaystyle{ m}\)? Nie widzę w ten sposób żadnych warunków koniecznych i wystarczających.

max123321 pisze: ↑16 gru 2022, o 01:24 No, ale jak mam narysować tą parabolę, jak mam nieznany parametr \(\displaystyle{ m}\)?

Schematycznie. Znasz współczynnik przy najwyższej potędze, więc trochę wiesz, jak wygląda, a narysować możesz ją tak, jak chciałbyś, żeby leżała. I już możesz zobaczyć to, czego nie widzisz:

max123321 pisze: ↑16 gru 2022, o 01:24 Nie widzę w ten sposób żadnych warunków koniecznych i wystarczających.

JK

No znam współczynnik przy najwyższej potędze czyli parabola będzie miała ramiona do góry. No to narysowałem taką parabolę, która ma miejsca zerowe \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\), a współrzędne wierzchołka to \(\displaystyle{ (2,-1)}\), no, ale nie wiem co z tego? Nie widzę jak z tego dostać warunki konieczne i wystarczające.

Dodano po 7 minutach 33 sekundach:
A dobra, znalazłem w necie podobne zadanie. Czyli warunki konieczne i wystarczające to to, że x-owa współrzędna wierzchołka ma być w tym przedziale i wartości funkcji w końcach przedziału mają być dodatnie, zgadza się?

Dodano po 19 minutach 37 sekundach:
Szkoda, że mi tego nie dajecie kawa na ławę, ale dobra.

No dobra, więc wracając do zadania:
Delta musi być większa od zera czyli:
\(\displaystyle{ \Delta=4m^2-4m^2+4>0}\), czyli delta zawsze jest dodatnia.
Wierzchołek musi być w tym przedziale czyli:
\(\displaystyle{ -2 \le \frac{2m}{2} \le 4 }\) czyli:
\(\displaystyle{ -2 \le m \le 4}\).
\(\displaystyle{ f(-2) \ge 0}\) czyli
\(\displaystyle{ 4+4m+m^2-1 \ge 0}\) czyli
\(\displaystyle{ m^2+4m+3 \ge 0}\) i z tego dostajemy:
\(\displaystyle{ m_1=-3}\)
\(\displaystyle{ m_2=-1}\) czyli
\(\displaystyle{ m \in \left( -\infty,-3\right\rangle \cup \left\langle -1,\infty \right) }\)
Dalej \(\displaystyle{ f(4) \ge 0}\), czyli
\(\displaystyle{ 16-8m+m^2 \ge 0}\) czyli
\(\displaystyle{ m^2-8m+15 \ge 0}\) i z tego mamy:
\(\displaystyle{ m_1=3}\)
\(\displaystyle{ m_2=5}\) czyli
\(\displaystyle{ m \in \left( -\infty,3\right\rangle \cup \left\langle 5,\infty \right) }\)
Biorąc część wspólną z tych wszystkich warunków dostajemy, że ostateczna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ m \in \left\langle -1,3\right\rangle }\)
Czy tak jest dobrze?

Dodano po 5 godzinach 25 minutach 52 sekundach:
Czy może ktoś to potwierdzić?

Dodano po 1 godzinie 18 minutach 4 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć?

Warunek dotyczący wierzchołka zrobiłbym bez znaków równości - pozostałe warunki ok.

Poprawności obliczeń nie sprawdzam.

Ok, dzięki, a może ktoś sprawdzić chociaż, czy wynik jest dobry?

Dodano po 2 dniach 22 minutach 28 sekundach:
Podbijam pytanie, czy jest dobrze?

max123321 pisze:Szkoda, że mi tego nie dajecie kawa na ławę, ale dobra.

To chcesz wędkę, czy rybę? Bo za ryby się płaci na korepetycjach.

Dodano po 22 minutach 12 sekundach:

max123321 pisze: ↑16 gru 2022, o 21:59 No znam współczynnik przy najwyższej potędze czyli parabola będzie miała ramiona do góry. No to narysowałem taką parabolę, która ma miejsca zerowe \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\), a współrzędne wierzchołka to \(\displaystyle{ (2,-1)}\), no, ale nie wiem co z tego? Nie widzę jak z tego dostać warunki konieczne i wystarczające.

Dodano po 7 minutach 33 sekundach:
A dobra, znalazłem w necie podobne zadanie. Czyli warunki konieczne i wystarczające to to, że x-owa współrzędna wierzchołka ma być w tym przedziale i wartości funkcji w końcach przedziału mają być dodatnie, zgadza się?

Dodano po 19 minutach 37 sekundach:
Szkoda, że mi tego nie dajecie kawa na ławę, ale dobra.

No dobra, więc wracając do zadania:
Delta musi być większa od zera czyli:
\(\displaystyle{ \Delta=4m^2-4m^2+4>0}\), czyli delta zawsze jest dodatnia.
Wierzchołek musi być w tym przedziale czyli:
\(\displaystyle{ -2 \le \frac{2m}{2} \le 4 }\) czyli:
\(\displaystyle{ -2 \le m \le 4}\).
\(\displaystyle{ \red{f(-2) \ge 0}}\) czyli
\(\displaystyle{ 4+4m+m^2-1 \ge 0}\) czyli
\(\displaystyle{ m^2+4m+3 \ge 0}\) i z tego dostajemy:
\(\displaystyle{ m_1=-3}\)
\(\displaystyle{ m_2=-1}\) czyli
\(\displaystyle{ m \in \left( -\infty,-3\right\rangle \cup \left\langle -1,\infty \right) }\)
Dalej \(\displaystyle{ \red{f(4) \ge 0}}\), czyli
\(\displaystyle{ 16-8m+m^2 \ge 0}\) czyli
\(\displaystyle{ m^2-8m+15 \ge 0}\) i z tego mamy:
\(\displaystyle{ m_1=3}\)
\(\displaystyle{ m_2=5}\) czyli
\(\displaystyle{ m \in \left( -\infty,3\right\rangle \cup \left\langle 5,\infty \right) }\)
Biorąc część wspólną z tych wszystkich warunków dostajemy, że ostateczna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ m \in \left\langle -1,3\right\rangle }\)
Czy tak jest dobrze?

Dodano po 5 godzinach 25 minutach 52 sekundach:
Czy może ktoś to potwierdzić?

Dodano po 1 godzinie 18 minutach 4 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć?

Czerwone niespójności do wyjaśnienia