Matematyka.pl

Dla jakich wartości całkowitych \(\displaystyle{ a}\) pierwiastki równania
\(\displaystyle{ (a-1)x^2-(a^2+1)x+a^2+a=0}\)
są liczbami całkowitymi?

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Viete

Ok, ale wzory Vieta powiedzą mi coś o sumie albo iloczynie pierwiastków, a skąd tutaj ta całkowitość?

Pomyśl. Ja wymyśliłem, to Ty też dasz radę

Ale Ty jesteś mądrzejszy ode mnie. Nie no nie wiem jak to ugryźć. Bo to chyba nie jest równoważne, że suma i iloczyn pierwiastków mają być całkowite?

Jak pierwiastki są całkowicie, to ich suma i iloczyn też.
Myśl dalej

No tak, ale my tu rozumujemy w drugą stronę. Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest całkowity, to czy same pierwiastki są całkowite?

max123321 pisze: ↑16 gru 2022, o 01:40 No tak, ale my tu rozumujemy w drugą stronę.

Ale wiesz, co to jest warunek konieczny?

JK

Aha ok, czyli to jest warunek konieczny. No dobra, ale to w takim razie jaki będzie warunek wystarczający?

Dodano po 4 minutach 58 sekundach:
Aha dobra ten warunek konieczny daje nam kandydatów i później trzeba sprawdzić, czy dla tych kandydatów pierwiastki są całkowite, zgadza się?

Aha.

JK

\((a-1)x^2-(a^2+1)x+a^2+a=-\bigl((x-1)a^2-(x^2+1)a+x^2+x\bigr)\)

No ok, czyli iloczyn pierwiastków to jest:
\(\displaystyle{ \frac{a^2+a}{a-1}=a+ \frac{2a}{a-1} }\)
No i teraz trzeba wypisać dla jakich całkowitych \(\displaystyle{ a}\) to wyrażenie jest całkowite. Z tego co widzę to będą
\(\displaystyle{ a=2}\)
\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ a=3}\)
\(\displaystyle{ a=-1}\)
Tylko ja to tak na palcach sprawdzałem, nie wiem czy można to zrobić jakoś bardziej systemowo?
No dobra, to w takim razie teraz suma pierwiastków to będzie:
\(\displaystyle{ \frac{a^2+1}{a-1}=a+1+ \frac{2}{a-1} }\)
No to tu jest łatwiej, bo mianownik musi być dzielnikiem dwójki. Z tego dostajemy:
\(\displaystyle{ a=3}\)
\(\displaystyle{ a=2}\)
\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ a=-1}\)
No i teraz trzeba sprawdzić, dla których z tych \(\displaystyle{ a}\) równanie ma pierwiastki całkowite.
Dla \(\displaystyle{ a=3}\) równanie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ (x-2)(x-3)=0}\) czyli ma pierwiastki całkowite
Dla \(\displaystyle{ a=2}\) mamy równanie też
\(\displaystyle{ (x-2)(x-3)=0}\) czyli całkowite
Dla \(\displaystyle{ a=0}\) mamy
\(\displaystyle{ x(-x+1)=0}\) czyli też i
Dla \(\displaystyle{ a=-1}\) równanie ma postać
\(\displaystyle{ x(-2x-2)=0}\) czyli też całkowite pierwiastki.
Czyli ostatecznie wszystkie te \(\displaystyle{ a}\) będą rozwiązaniami czyli \(\displaystyle{ a \in \left\{ 3,2,0,-1\right\} }\)
Czy tak jest dobrze?

\(\displaystyle{ \frac{2a}{a-1}=2+\frac{2}{a-1}}\)

Dodano po 1 minucie 23 sekundach:
Zgubiłeś jedno rozwiązanie

a4karo pisze: ↑16 gru 2022, o 21:28Zgubiłeś jedno rozwiązanie

Na samym początku.

JK

Aha jeszcze przypadek, że równanie się upraszcza do liniowego, czyli \(\displaystyle{ a=1}\). Wówczas dostaniemy równanie
\(\displaystyle{ -2x+2=0}\), które też ma rozwiązanie całkowite. Czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ a \in \left\{ 3,2,1,0,-1\right\} }\), zgadza się?