Matematyka.pl

Czy istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych stopnia dodatniego, którego wszystkie
wartości w punktach całkowitych są liczbami pierwszymi?

Trochę nie chce mi się wierzyć w to, że istnieje taki wielomian, ale nie mam w ogóle pomysłu jak to uzasadnić.

Czy może mi ktoś z tym pomóc?

NIe istnieje, bo `W(0)|W(W(0)^n)` dla dowolnego `n\in\NN`

a jeśli \(\displaystyle{ W(0)= 1 }\)

Dodano po 5 minutach 25 sekundach:
w punktach całkowitych czy całkowitych dodatnich

A czy jeden jest liczba pierwsza?

No ok, to ma sens, a jak to uzasadnić, że \(\displaystyle{ W(0)|W(W(0)^n)}\)? Czy wystarczy powiedzieć, że \(\displaystyle{ W(0)}\) jest liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ W(0)^n}\) jest potęgą liczby pierwszej, a \(\displaystyle{ W(W(0)^n)}\) jest sumą czynników z których każdy jest podzielny przez \(\displaystyle{ W(0)}\), dlatego jest to podzielne przez \(\displaystyle{ W(0)}\). Dobrze?

Specjalnie napisałem to tak, żeby mądrze wyglądało. Po prostu wylicz czym jest `W(0)`

Ok w takim razie niech \(\displaystyle{ W(0)=p=a_0}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Mamy, że \(\displaystyle{ W(W(0))=W(p)=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p+p=p(a_np^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}+...+a_1+1)}\) i teraz już można prawie na pewno powiedzieć, że to ostatnie to liczba złożona podzielna przez \(\displaystyle{ p}\) tylko nie wiem jak uzasadnić, że to co w nawiasie jest różne od \(\displaystyle{ \pm 1}\), bo mogłoby się zdarzyć, że \(\displaystyle{ W(W(0))=p}\). Jak uzupełnić tą lukę?

Tak oczywiście może się zdarzyć. Dlatego trzeba pokazać więcej: że `p|W(p^k)` dla dowolnego `k`.

Dodano po 5 minutach 58 sekundach:
Albo że `p|W(kp)`.

Być moze można też rozważyć \(\displaystyle{ \sum_{n} \frac{1}{W(n)}}\) .

Super pomysł

Dodano po 4 godzinach 46 minutach 33 sekundach:
Chociaż dla wielomianu stopnia `1` trzeba podać inny argument

Ok to pokażę, że \(\displaystyle{ p|W(p^k)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego. Mamy
\(\displaystyle{ W(p^k)=a_n(p^k)^n+a_{n-1}(p^k)^{n-1}+...+a_1p^k+p=p(a_np^{kn-1}+a_{n-1}p^{kn-k-1}+...+a_1p^{k-1}+1)}\). W nawiasie jest liczba całkowita, zatem faktycznie \(\displaystyle{ p|W(p^k)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego. No dobra, ale jak pokazać, że dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego \(\displaystyle{ W(p^k)}\) jest liczbą złożoną? Bo to chyba jeszcze nie wynika z tego automatycznie.

Trzeba po prostu chwilę pomyśleć

Chyba nie wiem jak to uzasadnić. Chcę uzasadnić, że dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_np^{kn-1}+a_{n-1}p^{kn-k-1}+...+a_1p^{k-1}+1 \neq \pm 1}\), ale co dalej? Jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ a_np^{kn-1}+a_{n-1}p^{kn-k-1}+...+a_1p^{k-1}=0}\) to dla jakiegoś innego \(\displaystyle{ k}\) powinno być to już różne od zera. Wiem jedynie, że \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\). Może jakaś wskazówka?

A gdyby dla wszytkich `k` to byrażenie nyłoby jedynką, to ile razy by ten wielomian przyjmował wartość `p`?

Nieskończoną liczbę razy, a tak być nie może bo każdy wielomian zmiennej \(\displaystyle{ x}\) przy \(\displaystyle{ x}\) dążącym do nieskończoności dąży do plus-minus nieskończoności, a więc od pewnego \(\displaystyle{ x}\) wielomian jest funkcją ściśle rosnącą lub malejącą, zatem nie może przyjmować dalej wartości \(\displaystyle{ p}\).

Dobrze?

Dodano po 8 godzinach 44 minutach 51 sekundach:
Dobrze to uzasadniłem?