Matematyka.pl

Dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\), \(\displaystyle{ d}\)... oraz \(\displaystyle{ a \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=a x^{2}+bx+c }\)
\(\displaystyle{ f(x)=3f(x-k)-3f(x-2k)+f(x-3k)}\)
Dla wyższych stopni
\(\displaystyle{ f(x)=a x^{3}+b x^{2}+cx+d }\)
\(\displaystyle{ f(x)=4f(x-k)-6f(x-2k)+4f(x-3k)-f(x-4k)}\)

\(\displaystyle{ f(x)=a x^{4}-b x^{3}+c x^{2}+dx+e }\)
\(\displaystyle{ f(x)=5f(x-k)-10f(x-2k)+10f(x-3k)-5f(x-4k)+f(x-5k)}\)

i tak dalej

To prawda. A wynika z faktu, że jeżeli `W` jest wielomianem stopnia `n`, to `W(x)-W(x-k)` jest wielomianem stopnia `n-1`

Dlaczego temat zniknął? Jest aż tak nieciekawy?

Jak zniknął skoro w nim piszesz?

a4karo pisze: ↑21 wrz 2022, o 14:20 To prawda. A wynika z faktu, że jeżeli `W` jest wielomianem stopnia `n`, to `W(x)-W(x-k)` jest wielomianem stopnia `n-1`

Nie widzę powiązania. Można prosić o lekkie naprowadzenie, takie że współczynnikami przy kolejnych wyrazach?

Brombal pisze: ↑21 wrz 2022, o 15:36 Dlaczego temat zniknął? Jest aż tak nieciekawy?

To nie jest temat z "Teorii liczb", więc został zrelokowany.

JK

Zauważyłem po swoim bzdurnym wpisie. Dziękuję za odpowiedź.
W każdym razie te zniknięte tematy jeszcze bardziej zewrą nasze szaregi.

Brombal pisze: ↑21 wrz 2022, o 15:51

a4karo pisze: ↑21 wrz 2022, o 14:20 To prawda. A wynika z faktu, że jeżeli `W` jest wielomianem stopnia `n`, to `W(x)-W(x-k)` jest wielomianem stopnia `n-1`

Nie widzę powiązania. Można prosić o lekkie naprowadzenie, takie że współczynnikami przy kolejnych wyrazach?

Współczynniki są nieistotne.

Jeżeli `W` jest wielomianem stopnia `2`, to `U(x)=W(x)-W(x-k)` jest wielomianem stopnia jeden. A to znaczy, że wielomian `V(x)=U(x)-U(x-k)` jest wielomianem stałym. A to z kolei znaczy, że `V(x)-V(x-k)=0`.
No to teraz wystarczy wrócic do `W`:
\(\displaystyle{ 0=V(x)-V(x-k)=U(x)-U(x-k)-[U(x-k)-U(x-2k)]\\
=W(x)-W(x-k)-[W(x-k)-W(x-2k)]-[W(x-k)-W(x-2k)]+W(x-2k)-W(x-3k)=...}\)