Brak pierwiastków wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Brak pierwiastków wielomianu
Wykaż, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 3x^{10}-5 x^{6}+3}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 448 razy
Brak pierwiastków wielomianu
Jeżeli \(\displaystyle{ t}\) jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ -t}\) też, wystarczy więc ograniczyć się do nieujemnych, a tam \(\displaystyle{ 3x^{10}+2\ge 5x^6}\) z AM-GM. To samo uzyskuje się przez podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t\ge 0}\).
Ostatnio zmieniony 5 lut 2016, o 12:23 przez bosa_Nike, łącznie zmieniany 2 razy.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8589
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3353 razy
Brak pierwiastków wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)= 3x^{10}-5 x^{6}+3}\)
\(\displaystyle{ W ^{'} (x)= 30x^{9}-30 x^{5}=30x^5(x^4-1)=30x^5(x^2+1)(x-1)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ W _{max}=W(0)=3}\)
\(\displaystyle{ W _{min}=W(-1)=W(1)=1}\)
\(\displaystyle{ W ^{'} (x)= 30x^{9}-30 x^{5}=30x^5(x^4-1)=30x^5(x^2+1)(x-1)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ W _{max}=W(0)=3}\)
\(\displaystyle{ W _{min}=W(-1)=W(1)=1}\)
Ostatnio zmieniony 5 lut 2016, o 08:12 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
Brak pierwiastków wielomianu
Dziękuję Starałem się rozwiązać problem tradycyjnie (z użyciem wzorów skróconego mnożenia), ale ciężko... A może komuś się uda?
-
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Brak pierwiastków wielomianu
A skąd się wzięła ta nierówność, nie umiem tego z am-gm wyprowadzić.bosa_Nike pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ t}\) jest pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ -t}\) też, wystarczy więc ograniczyć się do niujemnych, a tam \(\displaystyle{ 3x^{10}+2\ge 5x^6}\) z AM-GM. To samo uzyskuje się przez podstawienie \(\displaystyle{ x^2=t\ge 0}\).
-- 5 lut 2016, o 11:44 --
Aa ok \(\displaystyle{ x^{10} + x^{10} + x^{10} + 1 + 1 \ge 5 \sqrt[5]{x^{10} \cdot x^ {10} \cdot x^{10}}=5x^6}\)
Nie było pytania.
-- 5 lut 2016, o 11:59 --
A tak ponownie zapytam odnośnie nierówności skoro zadanie jest rozwiązane.
W nierówności AM-GM jak to jest , im większą liczbę składników(\(\displaystyle{ n}\) weźmie się to tym mocniejsze ograniczenie z dołu się dostaje czy to raczej jest bez znaczenia?(chociaż na pewno jakieś jest znaczenie co widać na tym przykładzie).
Mam na myśli to że można jej użyć jak powyżej dla pięciu składników, albo jak np.
\(\displaystyle{ 3x^{10}+2 \ge 2\sqrt{6x^{10}}=2 \sqrt{6} x^{5}}\)
Tutaj dla dwóch, mógłby ktoś rozwiać moje wątpliwości?
Ostatnio zmieniony 5 lut 2016, o 12:47 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Brak pierwiastków wielomianu
To masz tutaj wzory skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ W(x)= 3x^{10}-5 x^{6}+3=\\=3(x^{5}-x)^{2}+x^{6}-3x^{2}+3=3(x^{5}-x)^{2}+(x^{3}-x)^{2}+2x^{4}-4x^{2}+3=\\=3(x^{5}-x)^{2}+(x^{3}-x)^{2}+2(x^{2}-1)^{2}+1}\)
Ale IMHO średnie rządzą.
\(\displaystyle{ W(x)= 3x^{10}-5 x^{6}+3=\\=3(x^{5}-x)^{2}+x^{6}-3x^{2}+3=3(x^{5}-x)^{2}+(x^{3}-x)^{2}+2x^{4}-4x^{2}+3=\\=3(x^{5}-x)^{2}+(x^{3}-x)^{2}+2(x^{2}-1)^{2}+1}\)
Ale IMHO średnie rządzą.
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 448 razy
Brak pierwiastków wielomianu
Tobie.poetaopole pisze:Dziękuję Starałem się rozwiązać problem tradycyjnie (z użyciem wzorów skróconego mnożenia), ale ciężko... A może komuś się uda?
Jak już wiesz, co ma wyjść, to rozbij sobie na sumę nieujemnych składników (to się niby później okaże, tzn. stawiasz hipotezę i dowodzisz jej prawdziwości).
\(\displaystyle{ 3x^{10}-5x^6+2+1=\left(3x^{10}-3\right)-\left(5x^6-5\right)+1}\)
Wyłączasz tyle, ile się da. Jedynkę zostawiasz w spokoju.
EDIT: O, Premislav zrobił mniej bałaganu.
@Milczek - No ale musiałbyś dostać mocniejsze ograniczenie w przedziale, który rozpatrujesz, tzn. w tym przypadku \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}x^5\ge 5x^6}\) w całym \(\displaystyle{ \RR_+}\)...
-
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 7 gru 2015, o 17:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 16 razy
Brak pierwiastków wielomianu
Tak jeszcze podpowiem, bo sam się spotkałem z tym rozwiązaniem i z kluczem, to wymagają przy tym liczenia granic funkcji w nieskończonościach, aby udowodnić że minima lokalne są właśnie najmniejszymi wartościami, bo inaczej przecież mógłby mieć
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 448 razy
Brak pierwiastków wielomianu
Hmm, przy wielomianach parzystego stopnia z dodatnim współczynnikiem wiodącym... Ciekawe, czy taka uwaga by wystarczyła?
EDIT: Literówki; czas wysypać okruszki z klawiatury.
EDIT: Literówki; czas wysypać okruszki z klawiatury.