Matematyka.pl

jak wyznaczyc największą i najmniejszą wartość funkcji
f(x) = sinx*sin(x + pi/3) ??
Jeśli ktoś potrafi to zrobic, to proszę o pomoc. Z góry dzięki.

Skorzystamy tutaj ze wzoru \(\displaystyle{ \sin x \sin y = \frac{1}{2} [ \cos( x- y) - \cos(x+y) ]}\). Przekształćmy więc nasz wzór funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= \sin x \sin (x+ \frac{ \pi }{3}) \\ f(x)= \frac{1}{2} [ \cos( - \frac{ \pi}{3}) - \cos(2x+ \frac{ \pi}{3})] \\ f(x)= -\frac{1}{2} \cos(2x+ \frac{ \pi}{3}) + \frac{1}{4}}\)
Teraz pokażemy, jaki jest zbiór wartości tej funkcji:
\(\displaystyle{ -1 q \cos(2x+ \frac{ \pi}{3}) q 1 \\ -\frac{1}{2} q \frac{1}{2} \cos(2x+ \frac{ \pi}{3}) q \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} q - \frac{1}{2} \cos(2x+ \frac{ \pi}{3}) q - \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} q - \frac{1}{2} \cos(2x+ \frac{ \pi}{3}) + \frac{1}{4} q - \frac{1}{4}}\)
Z tego wynika, że wartością największą jest \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\), a najmniejszą \(\displaystyle{ - \frac{1}{4}}\).

wezmy pochodna f(x) czyli
f'(x)=cos(x)*sin(x+pi/3)+sin(x)*cos(x)=cos(x)(sin(x)+sin(x+pi/3))=
cos(x)*sin(x+pi/6)*cos(pi/6)
funkcja przyjmuje min i max gdy f'(x)=0
wiec gdy cos(x)=0 x=pi/2+... lub sin(x+pi/6)=0 x=5/6pi+...
f(pi/2)=sin(pi/2)*sin(pi/2+pi/3)=1*sin(5/6pi)= 0.5
f(5/6pi)=sin(5/6pi)*sin(5/6pi+pi/3)=0.5*sin(7/6pi)=0.5*(-0.5)=-0.25
f min =-0.25
f max=0.5

Przemk20 - proszę po raz kolejny, byś stosował ten zapis. Szczególnie, że trudno jest teraz w Twoim poście wychwycić błąd, a takowy musi się pojawić, bo wartość maksymalna wynosi 0,75.

Dzi/ękuję bardzo za pomoc. Daję pomogl.