Matematyka.pl

Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB, CD. Ramie trapezu ma długość 10 obwód jest równy 40. Wyznacz długości podstaw tego trapezu, jeśli wiadomo, że tgα=3/4, gdzie α jest kątem ostrym trapezu.

Może tak

\(\displaystyle{ Ob=40}\)
\(\displaystyle{ Ob=a+b+2c (bo równoramiennny)}\)
\(\displaystyle{ 40=a+b+20}\)
\(\displaystyle{ a+b=20}\)
\(\displaystyle{ a=20-b}\)

I teraz narysuj wysokości z wierzchołków C i D. Podzielą one Ci dolną podstawę na 3 odcinki w tym 2 będą sobie równe. Oznaczmy je jako x

Odcinek ten jest równy: \(\displaystyle{ x=\frac{a-b}{2}=\frac{20-b-b}{2}=10-b}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{4}=\frac{h}{x} ==> h=\frac{3}{4}x}\)

Z twierdzenia pitagorasa:

\(\displaystyle{ x^{2}+(\frac{3}{4}x)^{2}=10^{2}}\)
\(\displaystyle{ x=8}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{3}{4}*8=6}\)

\(\displaystyle{ a=18}\)
\(\displaystyle{ b=2}\)

\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{3}{4} \newline
tg\alpha=\frac{h}{x}\newline
\frac{h}{x}=\frac{3}{4}\newline
h=\frac{3}{4}x\newline
\newline
x^2+h^2=10^2\newline
x^2+(\frac{3}{4}x)^2=10^2\newline
x^2+\frac{9}{16}x^2=100\newline
\frac{25}{16}x^2=100\newline
x^2=64\newline
x=8\newline
h=\frac{3}{4}\cdot 8=6\newline
\newline
Obw=2b+2x+10+10\newline
40=2b+16+20\newline
2b=4\newline
b=2}\)
zatem podstawy to 2cm oraz 18cm