Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_+ \ , \ x\neq k\pi \ , \ k\in\mathbb{Z}}\)
Wykaż, że zachodzi następującą równość:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin 3x+\cdots + \sin \left(2n-1\right)x=\frac{1-\cos 2nx}{2\sin x}}\)
Jakieś pomysły?
Wykazać równość (bez używania indukcji)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Wykazać równość (bez używania indukcji)
\(\displaystyle{
\begin{split}
\sin x+\sin 3x+ \dots + \sin (2n-1)x &= \sum_{k=1}^{n} {\sf{Im}} \, e^{i(2k-1)x} \\[2ex]
&= {\sf{Im}} \sum_{k=1}^{n} e^{i(2k-1)x} \\[2ex]
& = \dots
\end{split}
}\)
\begin{split}
\sin x+\sin 3x+ \dots + \sin (2n-1)x &= \sum_{k=1}^{n} {\sf{Im}} \, e^{i(2k-1)x} \\[2ex]
&= {\sf{Im}} \sum_{k=1}^{n} e^{i(2k-1)x} \\[2ex]
& = \dots
\end{split}
}\)
Ostatnio zmieniony 1 cze 2023, o 12:38 przez Janusz Tracz, łącznie zmieniany 2 razy.
-
41421356
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wykazać równość (bez używania indukcji)
Już widzę, że wychodzi suma szeregu geometrycznego, ale nie bardzo widzę jak sensownie z tego wydobyć cześć urojoną.
