Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to jest on prostokątny
\(\displaystyle{ \sin\gamma= \frac{\sin \alpha +\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}}\)
Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 9 wrz 2011, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: ZT
- Podziękował: 36 razy
Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...
Ostatnio zmieniony 7 lut 2023, o 18:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...
\(\displaystyle{ \sin\gamma= \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}}\)
Wzory na sumę funkcji trygonometrycznych +
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=180^o-\gamma}\)
Wzory na sumę funkcji trygonometrycznych +
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=180^o-\gamma}\)
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...
witam, domyślam się że chociaż zjadłaś oznaczenia, chodziło ci ( tradycyjnie w zapisie kątów literami A,B,C)
o to , że z warunku \(\displaystyle{ \sin C= \frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}}\) ma wynikać istnienie kąta prostego
przekształcając ze wzorów sumacyjnych sinusów i cosinusów mamy: \(\displaystyle{ (A+B+C= \pi )}\)
\(\displaystyle{ \sin C= \frac{2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} }{2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} }=\tan \frac{A+B}{2}=\tan \left( \frac{ \pi }{2}- \frac{C}{2}\right) =\ctg \frac{C}{2}}\)
czyli patrząc na początek i koniec :
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}= \frac{\cos \frac{C}{2} }{\sin \frac{C}{2} }}\)
\(\displaystyle{ 2\ sin^2 \frac{C}{2}=1,\sin^2 \frac{C}{2}= \frac{1}{2}}\)
ale \(\displaystyle{ 0< \frac{ C }{2}< \frac{ \pi }{2}}\) stąd \(\displaystyle{ \sin \frac{C}{2}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i dalej
\(\displaystyle{ \frac{C}{2}= \frac{ \pi }{4} ,C= \frac{ \pi }{2}}\)
o to , że z warunku \(\displaystyle{ \sin C= \frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}}\) ma wynikać istnienie kąta prostego
przekształcając ze wzorów sumacyjnych sinusów i cosinusów mamy: \(\displaystyle{ (A+B+C= \pi )}\)
\(\displaystyle{ \sin C= \frac{2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} }{2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} }=\tan \frac{A+B}{2}=\tan \left( \frac{ \pi }{2}- \frac{C}{2}\right) =\ctg \frac{C}{2}}\)
czyli patrząc na początek i koniec :
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}= \frac{\cos \frac{C}{2} }{\sin \frac{C}{2} }}\)
\(\displaystyle{ 2\ sin^2 \frac{C}{2}=1,\sin^2 \frac{C}{2}= \frac{1}{2}}\)
ale \(\displaystyle{ 0< \frac{ C }{2}< \frac{ \pi }{2}}\) stąd \(\displaystyle{ \sin \frac{C}{2}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i dalej
\(\displaystyle{ \frac{C}{2}= \frac{ \pi }{4} ,C= \frac{ \pi }{2}}\)
Ostatnio zmieniony 9 lis 2011, o 19:00 przez Psiaczek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 9 wrz 2011, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: ZT
- Podziękował: 36 razy
Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...
tak rzeczywiście już poprawiłam;) dziękuje za pomoc:)
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 21 maja 2022, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 3 razy
Re: Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...
Skąd wziąłeśPsiaczek pisze: ↑9 lis 2011, o 18:49 witam, domyślam się że chociaż zjadłaś oznaczenia, chodziło ci ( tradycyjnie w zapisie kątów literami A,B,C)
o to , że z warunku \(\displaystyle{ \sin C= \frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}}\) ma wynikać istnienie kąta prostego
przekształcając ze wzorów sumacyjnych sinusów i cosinusów mamy: \(\displaystyle{ (A+B+C= \pi )}\)
\(\displaystyle{ \sin C= \frac{2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} }{2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} }=\tan \frac{A+B}{2}=\tan \left( \frac{ \pi }{2}- \frac{C}{2}\right) =\ctg \frac{C}{2}}\)
czyli patrząc na początek i koniec :
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}= \frac{\cos \frac{C}{2} }{\sin \frac{C}{2} }}\)
\(\displaystyle{ 2\ sin^2 \frac{C}{2}=1,\sin^2 \frac{C}{2}= \frac{1}{2}}\)
ale \(\displaystyle{ 0< \frac{ C }{2}< \frac{ \pi }{2}}\) stąd \(\displaystyle{ \sin \frac{C}{2}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i dalej
\(\displaystyle{ \frac{C}{2}= \frac{ \pi }{4} ,C= \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}= \frac{\cos \frac{C}{2} }{\sin \frac{C}{2} }}\)?
widzę, że zamieniłeś cotangens na cosinus przez sinus, ale skąd się wzięło wyrażenie po lewej stronie równania ?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...
Inaczej:
Prawa strona po żmudnych aczkolwiek rutynowych rachunkach upraszcza się do \(\displaystyle{ 2abc/(c^2-(a-b)^2)}\). Stąd łatwo już widać, że równoważnie otrzymaliśmy
co na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kończy dowód.
Dodano po 21 minutach 9 sekundach:
aha to jest 2011...
- z tw sinusów mamy natychmiast, że równość z treści zadania jest równoważna równości
\(\displaystyle{ c= \frac{a+b}{\cos \alpha +\cos \beta }, }\)
- z twierdzenia cosinusów wiemy, że \(\displaystyle{ \cos \alpha =(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \beta =(a^2+c^2-b^2)/(2ac)}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{a+b}{ \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+ \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} }.}\)
Prawa strona po żmudnych aczkolwiek rutynowych rachunkach upraszcza się do \(\displaystyle{ 2abc/(c^2-(a-b)^2)}\). Stąd łatwo już widać, że równoważnie otrzymaliśmy
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2}\)
co na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kończy dowód.
Dodano po 21 minutach 9 sekundach:
aha to jest 2011...
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...
Jakiś archeolog mnie odkopał po 12 latach wow... dobry człowieku, to się wzięło ze wzoru na sinus podwojonego kąta , tylko argumenty zostały o połowę zmniejszone z jednej i z drugiej strony