Wiedząc, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym oraz \(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2}}\), oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (\sin\alpha-\cos\alpha)^2}\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania: Z założenia wynika kolejno, że \(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2} \Rightarrow 1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7}{4} \Rightarrow 2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ (\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}}\).
Czy tak jest dobrze?
Wiedząc, że alfa jest kątem ostrym
-
- Użytkownik
- Posty: 8008
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 1694 razy
Re: Wiedząc, że alfa jest kątem ostrym
\(\displaystyle{ \sin(\alpha) + \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{2}, }\)
\(\displaystyle{ (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2} \right)^2, }\)
\(\displaystyle{ \sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 + 2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) = \frac{7}{4} }\)
\(\displaystyle{ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4} \ \ (*).}\)
\(\displaystyle{ (\sin(\alpha) -\cos(\alpha) ^2 = \sin^2(\alpha) -2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \ \ (*) = 1 -\frac{3}{4}= \frac{1}{4}.}\)
Dobrze.
\(\displaystyle{ (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2} \right)^2, }\)
\(\displaystyle{ \sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 + 2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) = \frac{7}{4} }\)
\(\displaystyle{ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4} \ \ (*).}\)
\(\displaystyle{ (\sin(\alpha) -\cos(\alpha) ^2 = \sin^2(\alpha) -2\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \ \ (*) = 1 -\frac{3}{4}= \frac{1}{4}.}\)
Dobrze.
-
- Administrator
- Posty: 35068
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 5243 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5814
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 134 razy
- Pomógł: 532 razy
Re: Wiedząc, że alfa jest kątem ostrym
Sobie?Żeby przypomnieć jedynkę trygonometryczną i wzory skróconego mnożenia.
Bo ja np. mam też spore trudności z zapamiętywaniem tych wzorów...więc staram się zrozumieć innych...