Matematyka.pl

Dowieść, że \(\displaystyle{ 1-\cos x \le \frac{1}{2}x ^{2} ,\ x \in \mathbb{R}}\)

Zostaw cosinusa na lewej i obadaj jaką największą wartość będzie miało kwadratowe po prawej.

piasek101 pisze:i obadaj jaką największą wartość będzie miało kwadratowe po prawej.

Chyba najmniejszą.

JK

Jan Kraszewski pisze: Chyba najmniejszą.

Obstaję przy największej.

piasek101 pisze:

Jan Kraszewski pisze: Chyba najmniejszą.

Obstaję przy największej.

Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac12x^2}\) na mój gust nie ma wartości największej.

JK

Jan Kraszewski pisze: Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac12x^2}\) na mój gust nie ma wartości największej.

piasek101 pisze:Zostaw cosinusa na lewej i obadaj jaką największą wartość będzie miało kwadratowe po prawej.

A \(\displaystyle{ -0,5x^2}\) ma największą.

piasek101 pisze:Zostaw cosinusa na lewej i obadaj jaką największą wartość będzie miało kwadratowe po prawej.

piasek101 pisze:A \(\displaystyle{ -0,5x^2}\) ma największą.

Ma, ale zupełnie nie rozumiem, co Twoja rada ma wspólnego z tym faktem.

JK

Jakim faktem?
Zobaczyłem kwadratową która dla \(\displaystyle{ x=0}\) jest taka jak cosinus - i podałem podpowiedź - tyle.

piasek101, Twoja podpowiedź jest zasadna dopiero po pomnożeniu wyjściowej nierówności przez \(\displaystyle{ -1}\) . Po przeniesieniu wyrażenia kwadratowego na prawą stronę, nie będzie ono miało wartości największej.

Fakt - nie rozpisuję się - ale ,,zostaw cosinusa na lewej" było - i tego się trzymam.

Nie będę się spierał, ale ja tej podpowiedzi nie zrozumiałem, zatem nie wykluczam, że matmatmm też mógł jej nie zrozumieć. Choć być może to tylko mój problem.

JK

czyli mamy \(\displaystyle{ \cos x \ge 1- \frac{1}{2}x ^{2}}\) wyrażenie po lewej ma największą wartość 1, po prawej też, czyli z czego wynika ta nierówność?

punktem wyjścia jest nierówność \(\displaystyle{ \sin x \le x}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\)
\(\displaystyle{ 1-\cos x=1-\cos \left( 2\cdot \frac{x}{2} \right) =1- \left( \cos ^2 \frac{x}{2}-\sin ^2 \frac{x}{2} \right) =2\sin^2 \frac{x}{2}\le 2 \left( \frac{x}{2} \right) ^2}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\). dla \(\displaystyle{ x<0}\) pokombinuj na znakach

klaustrofob pisze:punktem wyjścia jest nierówność \(\displaystyle{ \sin x \le x}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\)
\(\displaystyle{ 1-\cos x=1-\cos \left( 2\cdot \frac{x}{2} \right) =1- \left( \cos ^2 \frac{x}{2}-\sin ^2 \frac{x}{2} \right) =2\sin^2 \frac{x}{2}\le 2 \left( \frac{x}{2} \right) ^2}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\). dla \(\displaystyle{ x<0}\) pokombinuj na znakach

może tak:
\(\displaystyle{ 2\sin^2 \frac{x}{2}=2\left|\sin \frac{x}{2} \right| ^{2} \le 2\left| \frac{x}{2} \right| ^{2} = \frac{1}{2}x ^{2}}\)

ale skąd to przejście: \(\displaystyle{ 2\left|\sin \frac{x}{2} \right| ^{2} \le 2\left| \frac{x}{2} \right| ^{2}}\). nierówność \(\displaystyle{ \sin y\le y}\) zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ y\ge 0}\)