Matematyka.pl

Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{\sin(\alpha) + \sin(\beta) - \sin(\gamma)} + \sqrt{\sin(\alpha) + \sin(\gamma) - \sin(\beta) }+ \sqrt{ \sin(\gamma) + \sin(\beta) - \sin(\alpha) } }\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) to są kąty w trójkącie

Funkcja \(\displaystyle{ f(\alpha, \beta, \gamma)=\sum_{}\sqrt{\sin \alpha+\sin \beta-\sin \gamma}}\) jest ciągła w swej dziedzinie na mocy twierdzenia Okowa (na oko widać).
Suma pierwiastków jest nieujemna i można się z tym wyrażeniem dowolnie zbliżyć do zera, spłaszczając trójkąt (np. \(\displaystyle{ \alpha}\) w okolicach \(\displaystyle{ \pi}\), a \(\displaystyle{ \beta, \ \gamma}\) w okolicach zera).
Z drugiej strony na mocy nierówności Cauchy'ego-Schwarza i nierówości Jensena (\(\displaystyle{ \sin x}\) wklęsła w \(\displaystyle{ (0,\pi)}\)) jest
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{\sin \alpha+\sin \beta-\sin\gamma}+\sqrt{\sin \beta+\sin\gamma-\sin \alpha}+\sqrt{\sin \gamma+\sin \alpha-\sin \beta}\right)^2\le 3\left(\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma\right)\le 9\sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\frac{9\sqrt{3}}{2}}\).
Wobec tego \(\displaystyle{ \sqrt{\sin \alpha+\sin \beta-\sin\gamma}+\sqrt{\sin \beta+\sin\gamma-\sin \alpha}+\sqrt{\sin \gamma+\sin \alpha-\sin \beta}\le \frac{3\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}}\) i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3}}\).
Z twierdzenia Darboux już łatwo wynika, że odpowiedź to \(\displaystyle{ \left(0,\frac{3\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\right]}\).