Trygonometria - tożsamości

Hajtowy · Post autor: **Hajtowy** » 22 sty 2012, o 11:00

\(\displaystyle{ \frac{\sin^2 37^o + \cos^2 127^o + 2 \cdot \sin37^o \cdot \cos487^o}{\tg405^o + \ctg225^o}}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} 37^o + \cos ^{2} 127^o = 1}\) ; bo \(\displaystyle{ \cos (127^o)=\cos (90^o+37^o)=- \cos 37^o}\)
\(\displaystyle{ \cos 487^o= \cos (90^o+37^o)= \cos 37^o}\) ; potrzebuję \(\displaystyle{ 2 \cdot \sin 37^o \cdot (- \cos 37^o) = ?}\)
\(\displaystyle{ \tg 405^o= \tg (360^o+45^o) = \tg 45^o = 1}\)
\(\displaystyle{ \ctg 225^o= \ctg (180°^o+45^o)= \ctg 45^o = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+ 2 \cdot \sin 37^o \cdot \cos 487^o}{1+1} = \frac{1+ 2 \cdot 1}{2} = \frac{2}{2} = 1}\)

Tak ma to być ? : /

Proszę o pomoc

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 22 sty 2012, o 11:17

Twoje obliczenia są nieprawidłowe. Mamy bowiem \(\displaystyle{ \cos 127^o=\cos(90^o+37^o)=-\sin 37^o}\), wskutek czego licznik rozważanego wyrażenia ma wartość równą zeru.

Hajtowy · Post autor: **Hajtowy** » 22 sty 2012, o 11:23

Czyli ma być :

\(\displaystyle{ \frac{\sin^2 37^o + \cos^2 37^o + 2 \cdot \sin37^o \cdot (- \cos37^o)}{\tg45^o + \ctg45^o}}\) = \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 37^o + \cos^2 37^o + 2 \cdot \sin37^o \cdot (- \cos37^o)}{1 + 1}}\) = \(\displaystyle{ \frac{\sin^2 37^o + \cos^2 37^o + 2 \cdot \sin37^o \cdot (- \cos37^o)}{2}}\) = ?

Co z tym dalej zrobić ?

\(\displaystyle{ {\sin^2 37^o + \cos^2 37^o}\) = 1
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sin37^o \cdot (- \cos37^o)}{2}}\) = ?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 22 sty 2012, o 11:26

Nie, mamy przecież \(\displaystyle{ \cos^2 127^o=(-\sin 37^o)^2=\sin^237^o}\) i podobnie \(\displaystyle{ \cos 487^o=\cos 127^o=-\sin 37^o}\).
Spójrz zatem ponownie na licznik ułamka.