Matematyka.pl

Czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi. Nie proszę o rozwiązanie tylko o odpowiedź tak lub nie bo chciałbym poćwiczyć przed spr. ale nie mam odpowiedzi.

a.\(\displaystyle{ cos a}\) \(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ \frac{tg a}{sin a}}\) = 1
b.\(\displaystyle{ sin a}\) + \(\displaystyle{ sin a}\) \(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ tg ^{2} a}\) = \(\displaystyle{ \frac{tg a}{cosa}}\)
c. \(\displaystyle{ cos a}\) + \(\displaystyle{ cosa}\) \(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ ctg ^{2} a= \frac{ctga}{sina}}\)
d.\(\displaystyle{ \frac{sina + cos a}{sin a}}\)= \(\displaystyle{ ctga \cdot}\) \(\displaystyle{ (1+tga)}\)

e. \(\displaystyle{ \frac{sina+tga}{sin a}}\)= 1 + \(\displaystyle{ \frac{1}{cos a}}\)

f.\(\displaystyle{ \frac{cosa+ctga}{cosa}}\)= 1+ \(\displaystyle{ \frac{1}{sin a}}\)

Z tego co mi wychodzi to wszystkie są tożsamościami

Ale nie zaznaczyłem, że trzeba to rozwiązywać znając tylko 4 podstawowe tożsamości.

No tak, korzystałem właściwie tylko z wyrażenia tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa i jedynki trygonometrycznej.

A mi tylko w a wychodzi, że są tożsamościami.
Robię takim sposobem, że porównuję jedną stronę do drugiej. Mógłbyś mi rozwiązać pozostałe ? Bo chciałbym to zrozumieć

nie będę pisał kątów, bo nie lubię się babrać z tym ;p
b) c jest podobne

\(\displaystyle{ \sin + \sin\frac{\sin^2}{\cos^2} = \frac{\frac{\sin}{\cos}}{\cos}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin^3 + \sin\cos^2}{\cos^2} = \frac{\sin}{\cos^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin(\sin^2 + \cos^2)}{\cos^2} = \frac{\sin}{\cos^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin}{\cos^2} = \frac{\sin}{\cos^2}}\)

w d, e i f rozbij sobie lewą stronę na 2 ułamki, żeby otrzymać \(\displaystyle{ 1+...}\), rozpisz tangensa i cotangensa i powinno pójść, jak nie to napisz

Ale my to robimy, że rozpatrujemy tylko jedną stronę. I wtedy się sprawdza czy jest tak samo. Mógłbyś mi tak rozpisać ?

no to d)
\(\displaystyle{ L = \frac{sin+cos}{sin} = 1 + \frac{cos}{sin} = 1 + ctg = tg*ctg+ctg=ctg(tg +1) = P}\)
e)
\(\displaystyle{ L = \frac{sin+tg}{sin} = 1 + \frac{tg}{sin} = 1 + \frac{\frac{sin}{cos}}{sin} = 1+ \frac{1}{cos} = P}\)
f) analogicznie jak e)

b) \(\displaystyle{ sin + sin \cdot tg^2 = sin + sin\frac{sin^2}{cos^2} = \frac{sin^3+sin \cdot cos^2}{cos^2} = \frac{sin(sin^2+cos^2)}{cos^2} = \frac{sin}{cos^2} = \frac{\frac{sin}{cos}}{cos}= \frac{tg}{cos} = P}\)

Jeszcze prosiłbym b i c w ten sam sposób. Daję plusika za tamte.-- 20 mar 2010, o 21:44 --A w b i c nie można by rozpisać prawej strony ?

Oczywiście że można, robisz wtedy kroki odwrotnie do tego co napisałem, ale jakoś zwyczaj jest "od lewej do prawej"

a skąd w b w licznik wziął się cos ?

najpierw podstawiłem \(\displaystyle{ tg = \frac{sin}{cos}}\) a potem po prostu \(\displaystyle{ \frac{sin}{cos^2} = \frac{sin}{cos} \cdot \frac{1}{cos} = \frac{\frac{sin}{cos}}{cos}}\)

Mam jeszcze parę funkcji z którymi sobie nie mogę poradzić tzn. w a,b wychodzi mi, że nie są.
Proszę o rozpisanie jednej strony.

a.\(\displaystyle{ 1- 2sin ^{2} =2cos ^{2}-1}\)

b.\(\displaystyle{ sin \cdot}\) \(\displaystyle{ (\frac{1}{sin }-sin)}\)= \(\displaystyle{ cos ^{2}}\)

c.\(\displaystyle{ \frac{2}{cos^2}}\)- \(\displaystyle{ 1}\)=\(\displaystyle{ 1+ 2tg^2}\)

d.\(\displaystyle{ \frac{1}{1-cos}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{1+cos}}\)=\(\displaystyle{ \frac{2}{sin^2}}\)

a) \(\displaystyle{ L = 1-2(1-cos^2) = 1-2+2cos^2 = 2cos^2 - 1 = P}\)
b) wymnóż nawias i jedynka tryg.
c) wspólny mianownik, zapisz 2 jako \(\displaystyle{ 2(sin^2+cos^2)}\)
d) wspólny mianownik i jedynka tryg.

A skąd w a się wziął cos ?
Pozostałe robię tak jaki piszesz, ale nie wiem czy mi dobrze wychodzi. Jakie powinny być odpowiedzi ?