Suma kosinusów
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11428
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Suma kosinusów
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n} \cos(A_i - A_j) \geq 0}\) dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A_1,..,A_n}\).
- RagaiH
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 16 lis 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 7 razy
Re: Suma kosinusów
Rozważmy pojedynczy składnik sumy:
\(\displaystyle{ \cos(A_{i}-A_{j})}\)
Korzystamy z tożsamości tryg.:
\(\displaystyle{ \cos(A_{i}-A_{j})=\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j})}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j})=\sum_{i,j=1}^{n}(\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j}))= (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n}\sin(A_{i}))^{2}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n}\sin(A_{i}))^{2} \ge 0}\)
Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, dlatego dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A_{1},..., A_{n}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j}) \ge 0 }\)
ckd.
\(\displaystyle{ \cos(A_{i}-A_{j})}\)
Korzystamy z tożsamości tryg.:
\(\displaystyle{ \cos(A_{i}-A_{j})=\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j})}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j})=\sum_{i,j=1}^{n}(\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j}))= (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n}\sin(A_{i}))^{2}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n}\sin(A_{i}))^{2} \ge 0}\)
Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, dlatego dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A_{1},..., A_{n}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j}) \ge 0 }\)
ckd.
Ostatnio zmieniony 17 lis 2023, o 12:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.