Matematyka.pl

Wyznaczyć najmniejszy i największy wyraz ciągu \(\displaystyle{ \sin(1^{o}), \ \sin(2^{o}), \ \sin(4^{o}), \ \sin(8^{o}), \ \sin(16^{o}), ...}\).

Największy będzie kiedy kąt jest najbliżej \(\displaystyle{ 180^{\circ} + 2k\cdot 360^{\circ}}\)
możemy rozłożyć \(\displaystyle{ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}\),
szukamy więc liczby postaci
\(\displaystyle{
\frac{2^k}{2^3\cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{2^{k-3}}{45}
}\)
i ta liczba musi nam wyjść postaci \(\displaystyle{ 1.5, 2.5, 3.5}\) itd. (żeby zostało 180 reszty)
\(\displaystyle{
\frac{2^{k-3}}{45} = \frac{2n-1}{2}\\
2^{k-2} = 90n-45
}\)
wiemy że takiej liczby nie znajdziemy bo potęga dwójki nie będzie nieparzysta więc najbardziej jak możemy się do tego zbliżyć to znaleźć liczbę o 1 większą lub mniejszą od potęgi 2, czyli szukamy
\(\displaystyle{
2^k= 90n - 44 \vee 2^k = 90n - 46\\
\log_2 2^{k-2} = \log_2\left( 90n-44 \right)\\
k = \log_2\left( 90n-44 \right) + 2\\

}\)
nie wiem teraz jak znaleźć takie \(\displaystyle{ n \in \NN}\) żeby \(\displaystyle{ k \in \NN}\)
może nie widzę czegoś oczywistego

Ciąg \(\displaystyle{ 2^n}\) jest od pewnego miejsca okresowy modulo 360: mamy \(\displaystyle{ 2^{3} = 2^{15} = 8}\) dlatego wystarczy sprawdzić początkowe piętnaście wyrazów. Najbardziej korzystne będą dla nas:

- \(\displaystyle{ 2^{13} = 272}\), sinus około \(\displaystyle{ -0.9993908270190958}\);
- \(\displaystyle{ 2^6 = 64}\), sinus około \(\displaystyle{ 0.898794046299167}\);