Matematyka.pl

No, ale ja dalej nie rozumiem, dlaczego w tym moim rozwiązaniu wychodzi źle. Chyba żadnej fałszywki nie zrobiłem. Może mi to ktoś wyjaśnić?

Wszystko zrobiłeś dobrze, ale zapomniałeś, że rozwiązujesz układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x+\cos x=1 \\ \sin^2 x+\cos^2 x=1. \end{cases} }\)

Wykonałeś rachunki i doszedłeś (równoważnie) do tego, że

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x=1-\sin x \\ x=k\pi\text{ lub }x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in \ZZ. \end{cases} }\)

Jak zapewne widzisz, nie jest to jeszcze końcowe rozwiązanie. Natomiast sposób, w jaki zapisałeś rozwiązanie sprawił, że zapomniałeś, co tak naprawdę robisz.

JK

Po prostu z faktu, że `\sin x+\cos x=1` wynika, że `\cos^2x=(1-\sin x)^2`, ale w drugą stronę nie. Więc przejście, które zrobiłeś nie jest równoważne i stąd obce pierwiastki

Aha no dobra chyba faktycznie zapomniałem co robię. No ok, więc mamy ten układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x=1-\sin x \\ x=k\pi\text{ lub }x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in \ZZ. \end{cases}}\)
i teraz jeśli \(\displaystyle{ x=k\pi}\) to \(\displaystyle{ 1-\sin x=1-0=1}\), a \(\displaystyle{ \cos x=1}\) tylko, gdy \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) i to jest jedna grupa rozwiązań. (Wziąłem część wspólną zbiorów rozwiązań).
Teraz jeśli \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) to \(\displaystyle{ 1-\sin x=1-1=0}\), a \(\displaystyle{ \cos x=0}\) dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\). Więc teraz muszę wziąć część wspólną zbiorów tych rozwiązań i dostaje rozwiązanie \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\).

Zatem mamy ostatecznie dwie grupy rozwiązań:
\(\displaystyle{ x=2k\pi}\) oraz \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\).

Czy teraz jest już dobrze?

Dobrze, poza tym, że

max123321 pisze: ↑18 lis 2023, o 00:43 Teraz jeśli \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) to \(\displaystyle{ 1-\sin x=1-1=0}\), a \(\displaystyle{ \cos x=0}\) dla \(\displaystyle{ \red{x=k\pi}}\). Więc teraz muszę wziąć część wspólną zbiorów tych rozwiązań i dostaje rozwiązanie \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\).

chciałeś napisać co innego.

JK

Tak tam powinno być \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+k\pi}\). Ostatnio jestem jakiś niedokładny.