Matematyka.pl

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Dopisz równanie \(\displaystyle{ \sin ^2 x+\cos^2x =1}\) do kompletu.

No dobra i co dalej?

No daj spokój...

Dalej rozwiązać układ równań.

JK

Ja bym zaczął:
\(\cos x+\sin x=\cos x+\cos\left({\pi\over2}-x\right)=\ldots\)

Pozdrawiam

No, ale jak rozwiązać bo podobno nie mogę tego podnieść stronami do kwadratu, bo potem wyjdzie więcej rozwiązań niż trzeba.

Po pierwsze, to nieprawda, możesz spokojnie podnosić stronami do kwadratu POD WARUNKIEM, że na końcu - zgodnie z metodą analizy starożytnych - sprawdzisz, które z otrzymanych rozwiązań są dobre.

Po drugie, wcale nie musisz podnosić do kwadratu, wystarczy z pierwszego równania wyznaczyć np. \(\displaystyle{ \sin x}\) i wstawić do drugiego.

JK

Aha no dobra, to w takim razie proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania:

\(\displaystyle{ \cos x=1-\sin x}\)
\(\displaystyle{ (1-\sin x)^2+\sin ^2x=1}\)
\(\displaystyle{ 1-2\sin x+2\sin^2 x=1}\)
\(\displaystyle{ \sin x(\sin x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin x=1}\)
, zatem \(\displaystyle{ x=k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\), \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\).

Tak jest dobrze?

Spróbuj `x=\pi`

Kuźwa no to co ja robię źle?

Spróbowałeś:

JHN pisze: ↑16 lis 2023, o 09:21 Ja bym zaczął:
\(\cos x+\sin x=\cos x+\cos\left({\pi\over2}-x\right)=\ldots\)

Pozdrawiam

JHN poczekaj, zanim spróbuję tak jak mówisz, chciałbym wiedzieć gdzie tkwi błąd w moim rozwiązaniu.

max123321 pisze: ↑16 lis 2023, o 21:11 \(\displaystyle{ \cos x=1-\sin x}\)
...
\(\displaystyle{ \sin x=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin x=1}\)

Czyli
\(\cos x=1-0=1\) lub \(\sin x=1\)

Pozdrawiam

Podnieś stronami do kwadratu:
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x =1}\)
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^2=1}\)
\(\displaystyle{ \sin^2x+2\sin x\cos x +\cos^2x =1}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x = 1}\)

itd.

A czy tu w ogóle coś trzeba liczyć?
Prosta `a+b=1` i okrąg `a^2+b^2=1` przecinają się w dwóch punktach `(0,1)` i `(1,0)`