Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \arctan 3^{x} -\arctan 3 ^{-x} = \frac{ \pi }{6}}\)

proszę o pomoc.

Tu masz podobne równanie : 365801.htm
Spróbuj zrobić podobnie i pokaż wyniki.

\(\displaystyle{ \arctan \left(3^{\frac{1}{2}}\right) -\arctan \left(3 ^{-\frac{1}{2}}\right)=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=\arctan 3^{x} -\arctan 3 ^{-x}}\) jest rosnąca skąd \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest jedynym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ \arctan 3^{x} -\arctan 3 ^{-x} = \frac{ \pi }{6}}\).

Warto podać formalne rozwiązanie, bo nie zawsze przykład musi być taki łatwy do zgadnięcia.
\(\displaystyle{ \tan \left(\arctan \left(3^{x}\right) -\arctan \left(3 ^{-x}\right)\right)=\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\tan(\arctan(3^{x}))- \tan(\arctan(3^{-x}))}{1+\tan(\arctan(3^{x}))\cdot \tan(\arctan(3^{-x}))}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3^{x}-3^{-x}}{1+3^{x-x}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Podstawiamy zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=3^{x}, t > 0}\)
\(\displaystyle{ t-\frac{1}{t}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \Rightarrow t^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}t-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = \frac{12}{9}+4=\frac{48}{9}}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3} \pm \frac{4\sqrt{3}}{3}}{2}}\), rozwiązanie \(\displaystyle{ \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3}}{2}}\) odrzucamy, bo \(\displaystyle{ t>0}\).
Tak więc \(\displaystyle{ t=\sqrt{3} \Rightarrow 3^{x}=3^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x=\frac{1}{2}}\)

Dziękuję