Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \ctg \left( \frac{x}{4}\right) - \ctg(x) > 2}\) dla \(\displaystyle{ 0< x < \pi}\).

\(\displaystyle{
\ctg\left(\frac{x}{4}\right) - \ctg(x) > 2\\
\frac{\cos\left(\frac{x}{4}\right)}{\sin\left(\frac{x}{4}\right)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} > 2\\
\frac{ \cos\left(\frac{x}{4}\right)\sin(x) - \cos(x)\sin\left(\frac{x}{4}\right) }{\sin\left(\frac{x}{4}\right)\sin(x)} > 2\\
\boxed{
\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}\left(\sin(a+b) + \sin(a-b)\right)\\
\cos(a)\sin(b) = \frac{1}{2}\left(\sin(a+b) - \sin(a-b)\right)\\
\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}\left(\cos(a+b) + \cos(a-b)\right)
}\\
\frac{ \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{5}{4}x\right) - \sin\left(-\frac{3}{4}x\right) \right) - \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{5}{4}x\right) + \sin\left(-\frac{3}{4}x\right) \right)}{ \frac{1}{2}\left( \cos\left(\frac{5}{4}x\right) + \cos\left(-\frac{3}{4}x\right) \right) } > 2\\

\frac{ -2\sin\left(-\frac{3}{4}x\right) }{ \cos\left(\frac{5}{4}x\right) + \cos\left(-\frac{3}{4}x\right) } > 2\\

\frac{ 2\sin\left(\frac{3}{4}x\right) }{ \cos\left(\frac{5}{4}x\right) + \cos\left(\frac{3}{4}x\right)} > 2\\
\boxed{
\cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)
}\\

\frac{ 2\sin\left(\frac{3}{4}x\right) }{ 2\cos\left(\frac{ 2x }{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{1}{2}x}{2}\right) } > 2\\

\frac{ \sin\left(\frac{3}{4}x\right) }{ \cos\left(x\right)\cos\left(\frac{x}{4}\right) } > 2\\

\boxed{
\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}\left(\cos(a+b) - \cos(a-b)\right)
}\\
\frac{ \sin\left(\frac{3}{4}x\right) }{\frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{5}{4}x\right) - \cos\left(\frac{3}{4}x\right)\right) } > 2\\

\frac{ \sin\left(\frac{3}{4}x\right) }{ \cos\left(\frac{5}{4}x\right) - \cos\left(\frac{3}{4}x\right) } > 1\\

0 < x < \pi \Rightarrow \cos\left(\frac{5}{4}x\right) - \cos\left(\frac{3}{4}x\right) < 0\\

\sin\left(\frac{3}{4}x\right) < \cos\left(\frac{5}{4}x\right) - \cos\left(\frac{3}{4}x\right) \\

\sin\left(\frac{3}{4}x\right) + \cos\left(\frac{3}{4}x\right) < \cos\left(\frac{5}{4}x\right) \\

}\)

do tego miejsca doszedłem tylko nie wiem co dalej, korciłoby mnie podnieść obie strony do kwadratu, wtedy z lewej będzie jedynka i sinus podwojonego, po prawej po przerzuceniu jedynki sinus kwadrat ale o 4 nad ranem już nie mam głowy do tego w jakich warunkach można to tak podnieść przy nierówności