Matematyka.pl

Rozłożyć na czynniki \(\displaystyle{ 1-\cos^5 x - \sin^5 x }\).

Próbowałem coś z tym zrobić i co prawda nie dotarłem do rozkładu na czynniki, ale to tu zostawiam, może byłem na dobrej drodze, może komuś się przyda do ruszenia dalej

Zacząłemm od tego, że
\(\displaystyle{
1 - \cos^5 x - \sin^5 x = 1 - \left( \sin^5x + \cos^5 x\right)}\)
i spróbowałem uprościć wnętrze nawiasu

\(\displaystyle{
\sin x + \cos x = u\\
\left( \sin x + \cos x \right)^2 = u^2\\
\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = u^2\\
1 + 2\sin x \cos x = u^2\\
\boxed {\sin x \cos x = \frac{u^2 - 1}{2} }
\\
(\sin x + \cos x) ^3 = u^3\\
\sin^3 x + \cos^3 x + 3\sin x \cos x (\sin x + \cos x) = u^3\\
\sin^3 x + \cos ^3 x + 3 \cdot \frac{u^2-1}{2} \cdot u = u^3\\
\boxed{ \sin^3x + \cos^3 x = \frac{3u -u^3}{2} }
\\
(\sin x + \cos x)^5 = u^5\\
\sin^5x + 5\sin^4 x \cos x + 10 \sin^3 x \cos^2 x + 10 \sin^2 x \cos^3 x + 5\sin x \cos^4 x + \cos^5 x = u^5\\
\sin^5 x + \cos^5 x + 5 \sin x \cos x \left( \sin^3 x + \cos^3 x \right) + 10 \sin^2 x \cos^2 x (\sin x + \cos x) = u^5\\
\sin^5 x + \cos^5x + 5\cdot \frac{u^2-1}{2} \cdot \frac{3u-u^3}{2} + 10 \cdot\left( \frac{u^2-1}{2}\right)^2 \cdot u = u^5\\
\sin^5x + \cos^5x + \frac{5(u^2-1)(3u-u^3)}{4} + \frac{10u(u^2-1)^2}{4} = u^5\\
\sin^5x + \cos^5x + \frac{5(3u^3-u^5-3u+u^3)}{4} + \frac{10u(u^4 -2u^2 + 1)}{4} = u^5\\
\sin^5x + \cos^5x = \frac{4u^5 - 5(3u^3-u^5-3u+u^3) - 10u(u^4 -2u^2 + 1)}{4}\\
\sin^5x + \cos^5x = \frac{4u^5 -15u^3 +5u^5 +15u -5u^3 -10u^5 +20u^3 -10u}{4}\\
\boxed{ \sin^5x + \cos^5x = \frac{5u -u^5 }{4} }
}\)

i teraz z tym wracam do początkowego problemu:
\(\displaystyle{
1 - \cos^5x - \sin^5x = 1 - \left( \frac{5(\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x)^5}{4} \right)}\)

Tylko jakby nie wiem w ogóle czy to dobry kierunek

żeby podstawić kropkę nad i trzeba by rozłożyć na czynniki:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \left( u^5-5u+4\right) = \frac{1}{4}\left( u-1\right)^2\left( u^3+2u^2+3u+4\right) }\)

Można się pokusić też na rozkład tego w drugim nawiasie...

\(\displaystyle{ u=\cos x+\sin x}\)