Różnica
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Różnica
\(\displaystyle{ 1=\lvert\cos^3x-\sin^3x\rvert\le\lvert\cos^3x\rvert+\lvert\sin^3x\rvert\le \cos^2x+\sin^2x=1}\)
a ostatnie nierównośc jest możliwa tylko wtedy gdy moduł kosinusa jest `1` lub gdy moduł sinusa jest równy `1`.
Stąd wnioskujemy, że rozwiązaniem sa te ikxy, dla których `\cos x=1` lub `\sin x=-1`,
a ostatnie nierównośc jest możliwa tylko wtedy gdy moduł kosinusa jest `1` lub gdy moduł sinusa jest równy `1`.
Stąd wnioskujemy, że rozwiązaniem sa te ikxy, dla których `\cos x=1` lub `\sin x=-1`,
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Różnica
\(\displaystyle{ \cos^{3} (x) - \sin^{3} (x) = 1\\
\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3 = \cos^{3}{x}-3\cos^{2}{x} \sin{x} + 3\cos{x}\sin^{2}{x}-\sin^{3}{x}\\
\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3 = \cos^{3}{x} -\sin^{3}{x} - 3\sin{x}\cos{x}\left(\cos{x} - \sin{x} \right)\\
\left( \cos{x} - \sin{x}\right)^2 = \cos^{2}{x}-2\cos{x}\sin{x} + \sin^{2}{x} \\
\left( \cos{x} - \sin{x}\right)^2 = 1 -2\cos{x}\sin{x}\\
2\cos{x}\sin{x} = 1 - \left( \cos{x} - \sin{x}\right)^2\\
\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3 = \cos^{3}{x} -\sin^{3}{x} - \frac{3}{2}\left(1 - \left( \cos{x} - \sin{x}\right)^2 \right) \left(\cos{x} - \sin{x} \right)\\
\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3 = \cos^{3}{x} -\sin^{3}{x} - \frac{3}{2}\left(\cos{x} - \sin{x} \right)+\frac{3}{2}\left(\cos{x} - \sin{x} \right)^3\\
-\frac{1}{2}\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3+\frac{3}{2}\left(\cos{x} - \sin{x} \right)=\cos^{3}{x} -\sin^{3}{x}\\
-\frac{1}{2}\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3+\frac{3}{2}\left(\cos{x} - \sin{x} \right) = 1\\
t = \cos{x}-\sin{x}\\
-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t = 1\\
t^3 - 3t = -2 \\
t^3 - 3t +2=0\\
t_{1}+t_{2}=-1\\
t_{1}t_{2}=-2\\
\left( t-1\right)\left( t^2+t-2\right) =0\\
\left( t-1\right)\left( t+2\right)\left( t-1\right)=0\\
\left( t-1\right)^2\left( t+2\right)=0\\
\cos{x}-\sin{x}=1\\
\sqrt{2}\left( \cos{x} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } - \sin{x} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } \right) = 1\\
\sqrt{2}\cos{\left( x+\frac{\pi}{4}\right) } = 1\\
\cos{\left( x+\frac{\pi}{4}\right) } = \frac{1}{ \sqrt{2} }\\
x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}+2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z} \vee
x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}+2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}\\
x = 2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z} \vee
x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}\\
}\)
\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3 = \cos^{3}{x}-3\cos^{2}{x} \sin{x} + 3\cos{x}\sin^{2}{x}-\sin^{3}{x}\\
\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3 = \cos^{3}{x} -\sin^{3}{x} - 3\sin{x}\cos{x}\left(\cos{x} - \sin{x} \right)\\
\left( \cos{x} - \sin{x}\right)^2 = \cos^{2}{x}-2\cos{x}\sin{x} + \sin^{2}{x} \\
\left( \cos{x} - \sin{x}\right)^2 = 1 -2\cos{x}\sin{x}\\
2\cos{x}\sin{x} = 1 - \left( \cos{x} - \sin{x}\right)^2\\
\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3 = \cos^{3}{x} -\sin^{3}{x} - \frac{3}{2}\left(1 - \left( \cos{x} - \sin{x}\right)^2 \right) \left(\cos{x} - \sin{x} \right)\\
\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3 = \cos^{3}{x} -\sin^{3}{x} - \frac{3}{2}\left(\cos{x} - \sin{x} \right)+\frac{3}{2}\left(\cos{x} - \sin{x} \right)^3\\
-\frac{1}{2}\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3+\frac{3}{2}\left(\cos{x} - \sin{x} \right)=\cos^{3}{x} -\sin^{3}{x}\\
-\frac{1}{2}\left( \cos{x}-\sin{x}\right)^3+\frac{3}{2}\left(\cos{x} - \sin{x} \right) = 1\\
t = \cos{x}-\sin{x}\\
-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t = 1\\
t^3 - 3t = -2 \\
t^3 - 3t +2=0\\
t_{1}+t_{2}=-1\\
t_{1}t_{2}=-2\\
\left( t-1\right)\left( t^2+t-2\right) =0\\
\left( t-1\right)\left( t+2\right)\left( t-1\right)=0\\
\left( t-1\right)^2\left( t+2\right)=0\\
\cos{x}-\sin{x}=1\\
\sqrt{2}\left( \cos{x} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } - \sin{x} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } \right) = 1\\
\sqrt{2}\cos{\left( x+\frac{\pi}{4}\right) } = 1\\
\cos{\left( x+\frac{\pi}{4}\right) } = \frac{1}{ \sqrt{2} }\\
x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}+2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z} \vee
x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}+2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}\\
x = 2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z} \vee
x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}\\
}\)