Równanie z tangensem

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Równanie z tangensem

Post autor: inusia146 »

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} \right) = - \frac{ \sqrt{3} }{3} }\)

Założenie: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \\
x \neq \frac{\pi}{3}+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}}\)


I sposób:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{6} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \\
x = -\pi + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} }\)


II sposób, z wykorzystaniem wzoru na tangens sumy:
\(\displaystyle{ \frac{\tg \frac{1}{2} x + \tg \frac{\pi}{3}}{1- \tg \frac{1}{2}x \cdot \tg \frac{\pi}{3}} = - \frac{ \sqrt{3} }{3} \\
\frac{\tg \frac{1}{2} x + \sqrt{3} }{1- \sqrt{3} \tg \frac{1}{2}x } =- \frac{ \sqrt{3} }{3} \\
- \sqrt{3} + 3 \tg \frac{1}{2} x= 3 \tg \frac{1}{2} x + 3 \sqrt{3} \\
0=4\sqrt{3} }\)

sprzeczność

Co poszło nie tak w drugim sposobie?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie z tangensem

Post autor: Dasio11 »

Skoro pierwszym sposobem wychodzą rozwiązania, podstaw jedno z nich za \(\displaystyle{ x}\) i sprawdź, które przejście drugiej metody jest niepoprawne.
inusia146
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 188
Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 90 razy

Re: Równanie z tangensem

Post autor: inusia146 »

Dasio11 pisze: 30 wrz 2022, o 16:28 Skoro pierwszym sposobem wychodzą rozwiązania, podstaw jedno z nich za \(\displaystyle{ x}\) i sprawdź, które przejście drugiej metody jest niepoprawne.
Wychodzi na to, że już pierwsze, bo dla \(\displaystyle{ x=\pi}\) dostaję \(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{2} }\), który nie istnieje. Czyli jeżeli nie jest powiedziane, że \(\displaystyle{ \alpha, \beta \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z} }\), to nie mogę w ten sposób rozwiązywać równań z \(\displaystyle{ \tg (\alpha + \beta)}\), tak?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie z tangensem

Post autor: Dasio11 »

Zgadza się. Możesz wtedy rozważyć dwa przypadki: gdy żadna z liczb \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z}}\) oraz gdy któraś z tych liczb jest takiej postaci. W pierwszym przypadku metoda ze wzorem na tangens sumy zadziała, a drugi trzeba sprawdzić ręcznie. Akurat w tym zadaniu tak się zdarzyło, że wszystkie rozwiązania przynależą do drugiego, "brzegowego" przypadku.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z tangensem

Post autor: a4karo »

Jest jeszcze jeden wyjątek, który wypada sprawdzić: `1-\tan\alpha\tan\beta\ne 0`
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie z tangensem

Post autor: Dasio11 »

Ale ten warunek jest równoważny istnieniu \(\displaystyle{ \tg(\alpha+\beta)}\), więc jest już uwzględniony w dziedzinie początkowego równania.
ODPOWIEDZ