Matematyka.pl

Wyznacz zbior wartosci parametru \(\displaystyle{ t \in <0,\pi)}\) dla ktorych rowniosc
\(\displaystyle{ (2\cos t-1)x^2-2x+\cos t=0}\) ma dwa rozwiazania

Mamy wyznaczyć zbiór wartości parametru, który ma już swój zbiór? troche bezsensu, no ale nic.
\(\displaystyle{ 2cost-1 \neq 0 \wedge \Delta>0}\)

aby równanie miało dwa rozwiązania wtedy:
\(\displaystyle{ 2\cos{t}-1 \neq 0 \\ \cos{t} \neq \frac{1}{2} \\ t \neq \frac{1\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ \Delta > 0\\ 4-4\cdot(2\cos{t}-1) \cdot \cos{t}>0 \\ (2\cos{t}-1)\cos{t}<1 \\2\cos^{2}{t}-\cos{t}<1}\)
podstawiamy: \(\displaystyle{ k=\cos{t}}\)
zauważmy, że \(\displaystyle{ k\in \left< -1;1 \right>}\)

wtedy:
\(\displaystyle{ 2k^2-k-1<0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1+8=9}\)
\(\displaystyle{ k_{1}=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ k_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ k \in \left( -\frac{1}{2};1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \cos{t} \in \left( -\frac{1}{2};1 \right)}\)
stąd i uwzględniając od razu założenia:
\(\displaystyle{ t\in \left( 0; \frac{\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{6} \right)}\)

nei wiem czemu sie mienilo ale tam ma byc t<0;pi> zamkniety nawiazs nei otwary

ale to nic nie zmienia w rozwiązaniu

dlacego taie rozwiazanie??
a nie t nalezy(0,2/3pi)-(pi/3)-- 16 gru 2009, o 13:18 --a tak wogle to cost to nie to samo co cos^2t
a zrobiles podstwaienie na cost=k i potem nagle ci wyszlo z cos^2t k^2

nie bardzo rozumiem o co Ci chodzi.. w tym pierwszym ;p
co do drugiego zarzutu:

jeśli przyjmujemy:
\(\displaystyle{ k=\cos{t}}\) to mamy:

\(\displaystyle{ \cos^{2}{t}=\cos{t} \cdot \cos{t}=k \cdot k=k^2}\)

co do pierwszego.. możemy zapisać cały zbiór przedziałem i zaznaczyć, że z tego zbioru wyrzucamy daną wartość bądź zapisać rozwiązanie w postaci sumy dwóch zbiorów.. to jest przecież równoważne..

mam na myśli że:

\(\displaystyle{ t\in \left( 0; \frac{\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{6} \right) \Leftrightarrow t \in \left( 0; \frac{5\pi}{6} \right) \backslash \lbrace \frac{\pi}{3} \rbrace}\)

no spoko dzieki cylo 5/6 pito to samo co 2/3pi?

nie..
\(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3} \neq \frac{5\pi}{6}}\)

ale ja zrobiłem błąd.. tam zamiast \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{6}}\) faktycznie powinno być \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\)
Wszak cosinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) właśnie dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\)

poprawnym rozwiązaniem jest zatem:
\(\displaystyle{ t \in \left( 0; \frac{2\pi}{3} \right) \backslash \lbrace \frac{\pi}{3} \rbrace}\)