Dla jakich \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin\alpha} \sqrt{ \frac{1}{1+\cos\alpha} + \frac{1}{1-\cos\alpha} } - \sqrt{2} = - \sqrt{2} (2 + \ctg\alpha^{2})}\)
równanie trygonometryczne z niewiadomą
równanie trygonometryczne z niewiadomą
Ostatnio zmieniony 29 paź 2011, o 15:44 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
równanie trygonometryczne z niewiadomą
Zamiast \(\displaystyle{ \ctg\alpha^2}\) winno być zapewne \(\displaystyle{ \ctg^2\alpha}\).
Po lewej stronie przekształć wyrażenie pod pierwiastkiem, by otrzymać \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{|\sin\alpha|}}\).
Po prawej stronie mamy natomiast \(\displaystyle{ -\sqrt{2}\left(2+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)}\). Co więcej, po dodaniu stronami \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) prawa strona ma postać \(\displaystyle{ -\sqrt{2}\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{\sin^2\alpha}}\).
Wobec tego równanie jest następujące: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin\alpha}\cdot\frac{\sqrt{2}}{|\sin\alpha|}=-\frac{\sqrt{2}}{\sin^2\alpha}}\), skąd łatwo wynika \(\displaystyle{ |\sin\alpha|=-\sin\alpha}\), przy czym \(\displaystyle{ \sin\alpha\ne 0}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha<0}\). Wystarczy rozwiązać tę nierówność.
Po lewej stronie przekształć wyrażenie pod pierwiastkiem, by otrzymać \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{|\sin\alpha|}}\).
Po prawej stronie mamy natomiast \(\displaystyle{ -\sqrt{2}\left(2+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)}\). Co więcej, po dodaniu stronami \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) prawa strona ma postać \(\displaystyle{ -\sqrt{2}\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{\sin^2\alpha}}\).
Wobec tego równanie jest następujące: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin\alpha}\cdot\frac{\sqrt{2}}{|\sin\alpha|}=-\frac{\sqrt{2}}{\sin^2\alpha}}\), skąd łatwo wynika \(\displaystyle{ |\sin\alpha|=-\sin\alpha}\), przy czym \(\displaystyle{ \sin\alpha\ne 0}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha<0}\). Wystarczy rozwiązać tę nierówność.