Matematyka.pl

Witam mam do rozwiązania równanie:

\(\displaystyle{ \sin ^4x+\cos ^4x= \frac{5}{8}}\)

Udało mi się wpaść na dwa sposoby rozwiązania tego równania, pierwszy z nich:

\(\displaystyle{ \sin ^4x+\cos ^2x \cdot \cos ^2x= \frac{5}{8}\\
\sin ^4x+(1-\sin ^2)(1-\sin ^2x)= \frac{5}{8} \\
\sin ^4x-2\sin ^2x+1-\frac{5}{8}=0 \\
2\sin ^4x-2\sin ^2x+\frac{3}{8}=0}\)

dalej wystarczy już tylko rozwiązać równanie podstawiając

\(\displaystyle{ \sin ^2=t \\
16t^2-16t+3=0}\)

Drugi sposób z którym mam problem i proszę o radę:

\(\displaystyle{ \sin ^4x+\cos ^4x=(\sin ^2x+\cos ^2x)-2\sin ^2x\cos ^2x}\)

Od razu widać tutaj jedynkę trygonometryczną, mam tylko pytanie - co zrobić z:

\(\displaystyle{ 2\sin ^2x\cos ^2x}\)

można tutaj jakoś skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha}\)?

Jak najbardziej, \(\displaystyle{ 2\sin ^2 x \cos ^2 x=\frac 1 2\cdot 4\sin ^2 x \cos ^2 x=\frac 1 2(2\sin x \cos x)^2=\dots}\)

-- 4 lis 2016, o 21:36 --

Poza tym oczywiście powinno być:
\(\displaystyle{ \sin ^4x+\cos ^4x=(\sin ^2x+\cos ^2x)^2-2\sin ^2x\cos ^2x}\)
ale to i tak nic nie zmienia.