Matematyka.pl

Mam obliczyć:

\(\displaystyle{ log_{0,5}(sin2xsinx)=\frac{1}{2}}\)

Więc:

\(\displaystyle{ sin2xsinx=\frac{\sqrt2}{2}}\)

Jednak gdy dalej rozbijam to równanie wychodzi mi wielomian 3-ego stopnia, dla którego nie można zastosować twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Jak rozwiązać to zadanie?

z tym równaniem to chyba o to chodzi:
\(\displaystyle{ 2sin^{2}xcosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
2cosx-2cos^{3}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
t=cosx\;\; t\in \\
2t-2t^{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
2\sqrt{2}t^{3}-2\sqrt{2}t+1=0}\)

Parę przekształceń
\(\displaystyle{ \sin 2x\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\2sin^2 x\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
podnosimy do kwadratu
\(\displaystyle{ 4\sin^4 x\cos^2 x=\frac{1}{2}\\8\sin^4 x\cos^2 x=1\\8\sin^4 x(1-\sin^2 x)-1=0}\)
wprowadzamy zmienną
\(\displaystyle{ t=\sin^2 x}\)
równanie wygląda tak
\(\displaystyle{ 8t^2(1-t)-1=0\\-8t^3+8t^2-1=0}\)
i tu można stosować różne twierdzenia (z pozytywnym skutkiem )

A po tym jak rozwiążę to równanie, muszę jeszcze sprawdzić z tym sprzed podnoszenia do kwadratu?

Najlepiej tak zrobić.