Matematyka.pl

Witam, mam problem z równaniami z wartością bezwzględną:
\(\displaystyle{ \left| 2\cos3x\right|=1 }\)
\(\displaystyle{ 2\cos3x=1}\) lub \(\displaystyle{ 2\cos3x=-1}\)
\(\displaystyle{ \cos3x= \frac{1}{2} }\) lub \(\displaystyle{ \cos3x=- \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ 3x= \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi }\) lub \(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi }{3}+2k \pi }\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{9}+ \frac{2}{3}k \pi }\) lub \(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi }{9}+ \frac{2}{3}k \pi }\)

Odpoiedź mam nieprawidłową, bo okres ma być \(\displaystyle{ \frac{k \pi }{3} }\) a nie\(\displaystyle{ \frac{2k \pi }{3}}\).
Czy tu chodzi o to, że na początku jest wartość bezwzględna i to co jest pod osią X odbijamy symetrycznie, dlatego okres będzie co \(\displaystyle{ k \pi }\)?

Damieux pisze: ↑16 kwie 2024, o 23:02 \(\displaystyle{ \cos3x= \frac{1}{2} }\) lub \(\displaystyle{ \cos3x=- \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ 3x= \frac{ \pi }{3}+ \red{\frac{2}{3}k \pi} }\) lub \(\displaystyle{ \red{x}=- \frac{ \pi }{3}+2k \pi }\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{9}+ \frac{2}{3}k \pi }\) lub \(\displaystyle{ x=- \frac{ \pi }{9}+ \frac{2}{3}k \pi }\)

Tu masz spory bałagan w zapisie.

Damieux pisze: ↑16 kwie 2024, o 23:02Czy tu chodzi o to, że na początku jest wartość bezwzględna i to co jest pod osią X odbijamy symetrycznie, dlatego okres będzie co \(\displaystyle{ k \pi }\)?

Mniej więcej - błąd bierze się stąd, że rozwiązałeś wyłącznie pierwsze równanie. Przecież \(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{1}{2} }\) gdy \(\displaystyle{ \blue{\alpha=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi},}\) zaś \(\displaystyle{ \cos\alpha= -\frac{1}{2} }\) gdy \(\displaystyle{ \green{\alpha=\pi\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi=\pm\frac{\pi}{3}+(2k+1)\pi}}\). Połączenie rozwiązania niebieskiego z zielonym daje Ci \(\displaystyle{ \alpha=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi.}\)

JK