Matematyka.pl

Oblicz \(\displaystyle{ \sin20^\circ \cdot \sin40^\circ \cdot \sin80^\circ}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

\(\displaystyle{ a=\sin20^\circ \cdot \sin40^\circ \cdot \sin80^\circ\\
a\cdot \cos20^\circ=...}\)

JK

Nie wiem zbytnio do czego ma to prowadzić. Liczę tak:
\(\displaystyle{ a \cdot \cos 20^\circ= \frac{1}{2}\sin^240^\circ\sin 80^\circ }\)
I idąc dalej tym tokiem to:
\(\displaystyle{ a \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos^240^\circ= \frac{1}{8}\sin^380^\circ }\)
no, ale co z tym dalej?

\(\sin20^{\circ}\cdot\sin\left(60^{\circ}-20^{\circ}\right)\cdot\sin\left(60^{\circ}+20^{\circ}\right)=\ldots =\frac{1}{4}\sin\left(3\cdot 20^{\circ}\right)\)

A może to Ci się przyda: Ogólnie looknij tu:

Bosa Nike licząc w ten sposób doszedłem do tego, że:
\(\displaystyle{ \sin20^{\circ}\cdot\sin\left(60^{\circ}-20^{\circ}\right)\cdot\sin\left(60^{\circ}+20^{\circ}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =\sin 20^\circ(\sin 60^\circ \cos 20^\circ-\cos 60^\circ \sin 20^\circ)(\sin 60^\circ \cos 20^\circ+\cos 60^\circ \sin 20^\circ)=}\)
\(\displaystyle{ =\sin 20^\circ( \frac{ \sqrt{3} }{2}\cos 20^\circ- \frac{1}{2}\sin 20^\circ)( \frac{ \sqrt{3} }{2}\cos 20^\circ+ \frac{1}{2}\sin 20^\circ)= }\)
\(\displaystyle{ =\sin 20^\circ ( \frac{3}{4}\cos^2 20^\circ- \frac{1}{4}\sin^2 20^\circ)= }\)
\(\displaystyle{ =\sin 20^\circ( \frac{3}{4}-\sin^2 20^\circ) }\)
, ale nie wiem co z tym dalej?

\(\sin\left(3\cdot 20^{\circ}\right)=\sin\left(2\cdot 20^{\circ}+20^{\circ}\right)\)

No, ale skąd mam wziąć \(\displaystyle{ \sin (3 \cdot 20^\circ)}\) jeśli mam \(\displaystyle{ \sin 20^\circ}\)?

Dodano po 1 godzinie 36 minutach 7 sekundach:
Znaczy widzę pewne rozwiązanie, ale to korzysta ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin x \cdot \sin y}\), a nie wiem czy taki wzór jest w tablicach matematycznych dla maturzystów. Bo to jest generalnie zadanie z liceum i chciałbym zrobić je metodami niewykraczającymi poza zakres liceum. Może się ktoś w tej kwestii wypowiedzieć?

Dodano po 8 minutach 15 sekundach:
J Kraszewski, a jaki jest Twój pomysł na to zadanie? Możesz go trochę rozwinąć? Bo może Twoje rozwiązanie jest prostsze tylko ja nie umiem go skończyć.

max123321 pisze: ↑12 sty 2023, o 22:50Znaczy widzę pewne rozwiązanie, ale to korzysta ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin x \cdot \sin y}\), a nie wiem czy taki wzór jest w tablicach matematycznych dla maturzystów.

Jest wzór na różnicę cosinusów, z którego przy odrobinie inteligencji można ten wzór otrzymać.

max123321 pisze: ↑12 sty 2023, o 22:50J Kraszewski, a jaki jest Twój pomysł na to zadanie? Możesz go trochę rozwinąć? Bo może Twoje rozwiązanie jest prostsze tylko ja nie umiem go skończyć.

To był po prostu zły pomysł (skojarzyło mi się z innym zadaniem...).

JK

max123321 pisze: ↑12 sty 2023, o 22:50 No, ale skąd mam wziąć \(\displaystyle{ \sin (3 \cdot 20^\circ)}\) jeśli mam \(\displaystyle{ \sin 20^\circ}\)?

Wzoru \(\sin 3x=4\sin x\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\) uczą w Langley, zaś wzoru \(\sin 3x=3\sin x-4\sin ^3x\) uczą na Łubiance. Użycie ich obu mogłoby zdekonspirować podwójnego agenta, więc bezpieczniej będzie jakoś uzyskać któryś z nich, np. rozpisując \(\sin 3x=\sin (2x+x)\) i korzystając z faktu, że ciąg równości "działa" w obie strony.

Znaczy ten pierwszy wzór jest chyba niepotrzebny bo jak już doszedłem do tego
\(\displaystyle{ =\sin 20^\circ( \frac{3}{4}-\sin^2 20^\circ)}\) to można dalej napisać:
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}(3\sin 20^\circ-4\sin^3 20^\circ)= \frac{1}{4}\sin 60^\circ= \frac{ \sqrt{3} }{8} }\), ale to korzysta z tego Łubiankowego wzoru, którego nie ma w tablicach, co prawda niby można to przekształcić, ale tak średnio mi się to podoba.

Znalazłem inny sposób, który korzysta ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin x \cdot \sin y}\) i \(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos y}\) i widzę, że ten wzór jest w tablicach i korzysta też ze wzoru na różnicę sinusów, który jest w tablicach, więc chyba można założyć, że uczeń szkoły średniej to powinien znać. Proponuję takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ= \frac{\cos 20^\circ-\cos 60^\circ}{2} \cdot \sin 80^\circ= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{\cos 20^\circ- \frac{1}{2} }{2} \cdot \sin 80^\circ= \frac{1}{2}\cos 20^\circ\sin 80^\circ- \frac{1}{4}\sin 80^\circ= }\) \(\displaystyle{ = \frac{\sin 60^\circ+\sin 100^\circ}{4}- \frac{1}{4}\sin 80^\circ= \frac{ \sqrt{3} }{8}+ \frac{1}{4}(2 \cdot \sin 10^\circ\cos 90^\circ)= \frac{ \sqrt{3} }{8} }\).

Dobrze?

Kontynuacja sposobu rozwiązania Pana bosa_Nike

\(\displaystyle{ \sin (20^{o})\sin(40^{o})\sin(80^{0}) = \frac{1}{4}[4\sin(60^{0}-20^{o})\sin(60^{o}+20^{o})\sin(20^{0})] = }\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{4}[ 4(\sin(60^{o}\cos(20^{o})-\sin(20^{o})\cos(60^{o}))(\sin(60^{o}\cos(20^{o}+\sin(20^{o}\cos(60^{o}))\sin(20^{o}] = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}[4\sin^2(60^{o})\cos^2(20^{o})-\sin^2(20^{o}\cos^2(60^{o}))\sin(20^{o}]= }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \left[ 4\left(\frac{3}{4}\cos^2(20^{o})-\frac{1}{4}\sin^2(20^{o})\right)\sin(20^{o})\right] =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}[ (3\cos^2(20^{o})-\sin^2(20^{o}))\sin(20^{o})] =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}[3\cos^2(20^{o})\sin(20^{o})-\sin^3(20^{o})] = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}[3(1-\sin^2(20^{o}))\sin(20^{o})-\sin^3(20^{o})] = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}[ 3\sin(20^{o}) -3\sin^3(20^{o}) -\sin^3(20^{o})] = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}[ 3\sin(20^{o}) - 4\sin^3(20^{o}) ] = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \sin(3\cdot 20^{o}) = }\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{4} \sin(60^{o})= }\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = }\)

\(\displaystyle{ = \frac{\sqrt{3}}{8}.}\)

janusz47 pisze: ↑13 sty 2023, o 11:31 Kontynuacja sposobu rozwiązania Pana bosa_Nike

bosa_Nike (podobnie jak Nike i Kopernik) jest kobietą!

JK

Pozostało mi przeprosić Panią.