Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin x}= \frac{1}{\sin 2x}+ \frac{1}{\sin3x}}\).

Odpowiedź "kręci się" wokół \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{7}}\)

Sam dowód poprawności mojego spostrzeżenia to 9 mocnych linijek trygonometrycznych. Niestety, równania rozwiązać nie umiem, choć podejrzewam, że odpowiednio użyte przekształcenia z dowodu mogłyby się przydać w rozwiązaniu.

a może od : \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(x)} - \frac{1}{\sin(3x)}}\)...

Może... jak wrócę z zakupów spróbuję tak... ma to sens

No i zadanie okazało się banalne

Idąc tą drogą mój Wielki Dowód z \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{7} }\) pełen zakrętów i zwrotów akcji może się okazać tyci-tyci Zaraz się do niego zabiorę...

Rozwiązanie: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{7}+ \frac{2k \pi }{7} }\), ale \(\displaystyle{ k \neq 7n+3}\), \(\displaystyle{ n \in Z}\), bo inaczej zerują się mianowniki równania. Nie ukrywam, że pierwszy raz się spotykam z sytuacją, żeby trzeba było ograniczać całkowite k

być może też i przez liczby zespolone : jeśli \(\displaystyle{ z= \cos(\alpha) +i \sin(\alpha)}\) to \(\displaystyle{ \sin(n \alpha) = \frac{1}{2i}(z^n - \frac{1}{z^n} )}\) itd...