Matematyka.pl

Rozwiąż nierówność:
\(\displaystyle{ 2\sin(2x)>-1}\)

próbowałem zrobić to metodą graficzną:
linia czarna to \(\displaystyle{ \sin x}\)
linia niebieska to \(\displaystyle{ 2\sin(2x)}\)




Wynik \(\displaystyle{ x \in\langle - \frac{ \pi }{3} , \frac{7}{3} \pi\rangle}\)

1. Zły rysunek. Funkcja \(\displaystyle{ y= \sin x}\) ma okres \(\displaystyle{ 2 \pi}\) to funkcja \(\displaystyle{ y= \sin 2x}\) jest dwukrotnie "chudsza" a nie dwukrotnie "grubsza" czyli ma okres \(\displaystyle{ \pi}\)

2. Trzeba przekształcić nierówność do postaci \(\displaystyle{ \sin 2x> - \frac{1}{2}}\) i na wykresie zaznaczyć przerywaną linię \(\displaystyle{ y= - \frac{1}{2}}\)

3. Po odczytaniu kąta \(\displaystyle{ x _{0}}\) trzeba napisać nieskończoną ilość rozwiązań (przedziałów uwzględniających wielokrotności okresu czyli \(\displaystyle{ k \pi}\).

Teraz powinno być dobrze

Kąt dobry. Rysunek nadal zły - nawet \(\displaystyle{ y=\sin 1000x}\) mieści się w przedziale \(\displaystyle{ y \in [-1,1]}\)

kropka+ pisze:Kąt dobry. Rysunek nadal zły - nawet \(\displaystyle{ y=\sin 1000x}\) mieści się w przedziale \(\displaystyle{ y \in [-1,1]}\)

Tylko że tu masz funkcję \(\displaystyle{ 2\sin(2x)}\), ta dwójka na początku oznacza dwukrotne rozszerzenie wykresu względem osi y. Mam zrobić wykres dla funkcji już przekształconej (sin(2x))?

Tak- nierówność dotyczy przecież \(\displaystyle{ \sin 2x}\)

\(\displaystyle{ x \in ( -\frac{ \pi }{10} +k \pi , \frac{6}{10} \pi +k \pi)}\)

Źle, powinno być tak:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}= \sin \left (-\frac{ \pi }{6} \right ) \Rightarrow 2x _{0}=- \frac{ \pi }{6} \Rightarrow x _{0}=- \frac{ \pi }{12} \Rightarrow \\ \\
x= - \frac{ \pi }{12}+k \pi \vee x=( \frac{ \pi }{2}+ \frac{ \pi }{12})+k \pi = \frac{7}{12} \pi +k \pi}\)

Nasz przedział jest pomiędzy tymi iksami, czyli ostatecznie mamy:

\(\displaystyle{ x \in \left (- \frac{ \pi }{12}+k \pi \ , \ \frac{7}{12} \pi +k \pi \right )}\)

łapię, zaraz podam inny przykład i spróbuję tak jak ty obliczyć to zobaczymy czy mi wyjdzie.

oto on:
\(\displaystyle{ 4\sin \left( 3x \right) <1 /:4}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( 3x \right) < \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} = \sin \left( \frac{1}{4} \right) \Rightarrow 2x_{0} = \frac{ \pi }{12} \Rightarrow x_{0}= \frac{ \pi }{24} \Rightarrow x= \frac{ \pi }{24} +k \pi \vee x=-1 \left( \frac{ \pi }{3} + \frac{ \pi }{24} \right) = -\frac{9}{24} \pi +k \pi}\)

\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{9}{24} \pi +k \pi , \frac{ \pi }{24} + k \pi \right)}\)

Moorai pisze: \(\displaystyle{ \frac{1}{4} = \sin \left( \frac{1}{4} \right) \Rightarrow 2x_{0} = \frac{ \pi }{12}}\)

Obie równości są złe. Powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \approx \sin \frac{2}{25 } \pi \Rightarrow 3x _{0} \approx \frac{2}{25} \pi \Rightarrow x _{0} \approx \frac{2}{75} \pi}\)

Natomiast jeśli ma być dokładnie (bez przybliżania kąta) to:

\(\displaystyle{ 3x _{0}= \arcsin \frac{1}{4} \Rightarrow x _{0}= \frac{ \arcsin \frac{1}{4} }{3}}\)

Okres funkcji \(\displaystyle{ y= \sin 3x}\) jest trzy razy mniejszy niż okres funkcji \(\displaystyle{ y= \sin x}\) czyli wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \pi}\)

Dokończ to

Zanim sprubuję coś dokończyć wyjaśnij mi skąd wzięło ci się tu \(\displaystyle{ \frac{2}{25} \pi}\)

kropka+ pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \approx \sin \frac{2}{25 } \pi}\)

Rozumiem że zapomniałem napisać u siebie pi i widzę mój błąd z x, ale w żaden sposób nie rozumiem skąd wzięła się ta wartość.

I skąd nagle arcus w drugim przykładzie?

Żeby rozwiązać nierówność muszę znać \(\displaystyle{ x _{0}}\).
Rozwiązuję więc równanie

\(\displaystyle{ \sin 3x _{0} = \frac{1}{4}}\)

Nie ma "ładnego" kąta, którego sinus wynosi dokładnie \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)
Funkcją odwrotną do sinusa jest arcus sinus, stąd \(\displaystyle{ 3x _{0}= \arcsin \frac{1}{4}}\)
Gdybym chciała znać przybliżenie tego kąta to sprawdzam w tablicach matematycznych i znajduję, że

\(\displaystyle{ \sin 14 ^{o}30' \approx 0,2504 \approx \frac{1}{4}}\)

Teraz zamieniam stopnie na radiany:

\(\displaystyle{ 14 ^{o}30'=14,5 ^{o}\\
180 ^{o}= \pi \\
14,5 ^{o}=x\\ \\
x= \frac{14,5 \pi }{180} \approx 0,08 \pi = \frac{8}{100} \pi = \frac{2}{25} \pi}\)

Proponuję, żebyś najpierw podał dokładne przedziały (te z arcusem) i na końcu napisał, ile to jest w przybliżeniu w radianach.