Ukryta treść:
Mix sinusa
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11430
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Mix sinusa
Wyznaczyć możliwie największe \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ |(1+ \sqrt{n} )\sin( \pi \sqrt{n}) | >k}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), która nie jest kwadratem liczby całkowitej.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Mix sinusa
Tytuł zadania mnie irytuje bo powinno być max sinusa a nie mix sinusa, mix to może być pierogów na talerzu...
I jeżeli:\(\displaystyle{ n=k^2}\)
To całe to wyrażenie wynosi zero...
Teraz jeżeli chcemy wyszukać minima dla \(\displaystyle{ n \neq k^2}\) to nałeży szukać jak najbliżej \(\displaystyle{ k^2}\)
Czyli dla:
\(\displaystyle{ n:=n^2+1 \vee n:=n^2-1}\)
Więc po prostu mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ \left| \sin \pi \sqrt{n^2+1} \right| =\left| \sin\left( \pi n+ \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } \right)\right|=\left|\sin \pi n \cos \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} }( = 0) +\cos \pi n \sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } \right|=\sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } }\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\left( 1+ \sqrt{n^2+1} \right)\sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } = \sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } +n \cdot \sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } + \frac{\sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } }{n+ \sqrt{n^2+1} } }\)
ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+1}=n+ \frac{1}{n+ \sqrt{n^2+1}} }\)
Ciąg: \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest rosnący
Pierwszy i ostatni wyraz zdąża do zera
Trzeci składnik liczyłem na szybko upodlając się z del'Hospitala...
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\)
podobnie chyba wyjdzie dla:
\(\displaystyle{ \sqrt{n^2-1} }\)
co sugeruje, że:
\(\displaystyle{ k= \frac{\pi}{2} }\)
I jeżeli:\(\displaystyle{ n=k^2}\)
To całe to wyrażenie wynosi zero...
Teraz jeżeli chcemy wyszukać minima dla \(\displaystyle{ n \neq k^2}\) to nałeży szukać jak najbliżej \(\displaystyle{ k^2}\)
Czyli dla:
\(\displaystyle{ n:=n^2+1 \vee n:=n^2-1}\)
Więc po prostu mamy coś takiego:
\(\displaystyle{ \left| \sin \pi \sqrt{n^2+1} \right| =\left| \sin\left( \pi n+ \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } \right)\right|=\left|\sin \pi n \cos \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} }( = 0) +\cos \pi n \sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } \right|=\sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } }\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\left( 1+ \sqrt{n^2+1} \right)\sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } = \sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } +n \cdot \sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } + \frac{\sin \frac{\pi}{n+ \sqrt{n^2+1} } }{n+ \sqrt{n^2+1} } }\)
ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+1}=n+ \frac{1}{n+ \sqrt{n^2+1}} }\)
Ciąg: \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest rosnący
Pierwszy i ostatni wyraz zdąża do zera
Trzeci składnik liczyłem na szybko upodlając się z del'Hospitala...
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\)
podobnie chyba wyjdzie dla:
\(\displaystyle{ \sqrt{n^2-1} }\)
co sugeruje, że:
\(\displaystyle{ k= \frac{\pi}{2} }\)