Matematyka.pl

wie ktoś może jak to zrobić?
muszę to udowodnić:

1) \(\displaystyle{ \wedge x \in R}\), udowodnij: \(\displaystyle{ -\sqrt{2} \leqslant \sin x+ \cos x \leqslant \sqrt{2}}\)

2) \(\displaystyle{ \wedge x \neq k*\pi / 2, k \in C, udowodnij: \left| tg x+ ctg x \right| \geqslant 2}\)

3) \(\displaystyle{ \wedge x \in R, \wedge n \in N, n \geqslant 2, udowodnij: \sin^{n} x + \cos^{n} x \leqslant 1}\)

Proszę o pomoc, to dla mnie dość ważne.

Co do LaTex'u już poprawiłam w miarę zapis, wg mnie jest czytelny, lepiej nie potrafię. Przepraszam.

2) Funkcje \(\displaystyle{ tg x}\) i \(\displaystyle{ ctg x}\) przyjmują wartości ujemne dla tych samych argumentów, więc na przedziałach określoności albo obydwie są dodatnie albo ujemne, stąd \(\displaystyle{ |tg x +ctg x| = |tg x| + |ctg x|}\)

\(\displaystyle{ |tg x + ctg x| = |tg x| + |ctg x| = \frac{|sin x|}{|cos x|} + \frac{|cos x|}{|sin x|} = \frac{sin^{2} x + cos^{2} x}{|sin x cos x|} = \\ = \frac{sin^{2} x - 2 |sin x cos x | + cos^{2} x + 2 |sin x cos x|}{|sin x cos x|}= \\ = \frac{sin^{2} x - 2 |sin x cos x | + cos^{2} x}{|sin x cos x|} +\frac{2 |sin x cos x|}{|sin x cos x|} = \frac{ (|sin x| - |cos x|)^{2}}{|sin x cos x |} +2 qslant \\ qslant 0+2 = 2}\)

1. https://matematyka.pl/35088.htm